Gauss-Markov Process

考慮一個一階的線性常微分方程式：
\[\dot{x}(t)+ax(t)=0,\;\; x(0)\;\; \mbox{is given.}\]
其解為
\[x(t)=e^{-at}x(0). \]
假設採樣時間(sampling time)為$\Delta T$，且令$t_k:=k\Delta T$，則不難證明，由上述方程式可得
\[ x(t_{k+1}) = e^{-a\Delta T}x(t_k). \]
上式可視為一個離散時間的線性系統，其時間常數(time-constant)為$1/a$。若令此系統的輸入$w(t_k)$，為一個zero-mean Gaussian random sequence (or process)，其變異量為$\sigma^2$，此時上式可改寫為：
\[x(t_{k+1}) = e^{-a\Delta T}x(t_k)+w(t_k). \]
則Gauss-Markov定理告訴我們，$\{x(t_k)\}_{k=0}^{k=\infty}$必為一個Gauss-Markov process，且$x(t_k)$的autocorrelation function為
\[R(\tau)=\sigma^2e^{-a\vert\tau\vert}. \]

可以利用Gauss-Markov Process來描述GPS衛星誤差模型。上圖中Error Parameter就是指$x(t)$，Standard Deviation = $\sigma$，Time = 時間常數。舉例而言，第二列的意思就是說將Ephemeris以$\sigma=3, a=1/1800$的Gauss-Markov Process來表示，其autocorrelation function $R(\tau) = 9e^{-\vert\tau\vert / 1800}$。