電子學考試解答

Sunday, January 25, 2015

Exercises

線性代數

1. 對任意的$n\times n$矩陣,皆可以找到$n$個特徵值。(True or False)

2. 求下列$\mathbb{R}^3$空間基底之對偶基底(dual basis):(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (b) {(1, -2, 3), (1, -1, 1), (2, -4, 7)}.

3. 令$\phi$表示$\mathbf{R}^2$的線性泛函(linear functional),定義為$\phi(x, y) = x - 2y$。若$T$為下列在$\mathbf{R}^2$上的線性映射,試求$(T^t(\phi))(x, y)$,其中$T^t$表示transpose map(有些書寫為$T^*$):(a)$T(x, y) = (x, 0)$, (b)$T(x, y) = (y, x+y)$, (c) $T(x, y) = (2x-3y, 5x+2y)$。

4. 令$W$為$\mathbb{R}^4$的子空間,$W=span\{(1, 2, -3, 4), (1, 3, -2, 6), (1, 4, -1, 8)\}$。求$W$的零化集(annihilator)之一組基底。

5. 若$\mathbf{A}$為實對稱正定矩陣,試證明$\mathbf{A}=\mathbf{P}^t\mathbf{P}$,其中$\mathbf{P}$是一個非奇異矩陣。

6. 求$\mathbf{A}$的奇異值分解,其中
\[
\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}
 1 & 2 &3 \\
 4 & -2 & -1
\end{array}\right]
\]

7. $\mathbf{A}$是一個regular Markov matrix (每一列加起來皆等於1)
\[
\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}
 0.4 & 0.2 & 0.2 \\
 0.1 & 0.7 & 0.2 \\
 0.5 & 0.1 &0.6
\end{array}\right]
\]
求 (a) $\lim_{k\rightarrow\infty}\mathbf{A}^k$ = ? (b) 求$\mathbf{A}$的穩定機率向量(亦即求$\mathbf{p}$,使得$\mathbf{Ap}=\mathbf{p}$)。(思考:這樣的矩陣在通訊上有何用途?什麼條件下穩定機率向量才存在?有什麼用處?)











Saturday, January 17, 2015

矩陣函數

假設$\mathbf{A}$是一個$3\times 3$矩陣(為了方便說明,以$3\times 3$為例,實際上任意的方陣皆可),$f(x)=a_0 + a_1x+\cdots+a_nx^n$是一個$n$階多項式。則矩陣函數$f(\mathbf{A}$定義為:
\[
f(\mathbf{A}) = a_0\mathbf{I} + a_1\mathbf{A}+\cdots+a_n\mathbf{A}^n
\]
簡而言之,就是將$x$以矩陣$\mathbf{A}$代換,注意此時常數項變成$a_0\mathbf{I}$,$\mathbf{I}$是單位矩陣。一般而言,直接將$\mathbf{A}$帶入計算,不是一個很好的方法,如果$\mathbf{A}$矩陣可以對角化,可以利用下述方法處理。若$\mathbf{A}$可對角化,則存在可逆矩陣$\mathbf{Q}$,使得$\mathbf{A}=\mathbf{QD}\mathbf{Q}^{-1}$,其中$\mathbf{D}$為對角矩陣
\[
\mathbf{D}=\left[\begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{array}\right]
\]
$\lambda_1$、$\lambda_2$以及$\lambda_3$為$\mathbf{A}$的特徵值。將$\mathbf{A}$帶入$f(x)$之中,不難發現
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}f(\mathbf{D})\mathbf{Q}^{-1}. \hspace{2cm} (1)
\]
而由於$\mathbf{D}$為對角矩陣,經過計算可以發現
\[
f(\mathbf{D}) = \left[\begin{array}{ccc} f(\lambda_1) & 0 & 0 \\ 0 & f(\lambda_2) & 0 \\ 0 & 0 & f(\lambda_3) \end{array}\right].
\]
將上式帶回(1)式中,即可求得$f(\mathbf{A})$,計算已經大幅簡化。

若$f(x)$不為多項式,上述的方法不一定適用,而且除了幾個特殊的函數以外,通常不會成立。其中的一個特殊函數,而且在電機通訊領域常用的函數,也就是指數函數$f(x)=e^x$,也可以用上述的步驟來計算,而且在大學的線性代數,幾乎大概可能說不定或許絕對應該是多半或許考試一定會考。$e^x$在原點附近的泰勒展開式可以寫為
\[
e^x = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\]
可以想成是一個無窮多階的多項式。令$f(x)=e^x$帶入(1)式之後可得
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}f(\mathbf{D})\mathbf{Q}^{-1}
                           =  \mathbf{Q}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\mathbf{D}^n}{n!}\mathbf{Q}^{-1}
\]
同樣地,因為$\mathbf{D}$是對角矩陣,上式變成
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}\left[\begin{array}{ccc} e^{\lambda_1} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\lambda_3} \end{array}\right]\mathbf{Q}^{-1}.
\]