訊號與系統 (I)

1.1 信號模型 (Signal Models)
常見的訊號分類方式有下列幾種：
1. 連續時間 (continuous-time) 與離散時間 (discrete-time) 信號
2. 類比 (analog) 與數位 (digital) 信號
3. 週期 (periodic) 與非週期 (aperiodic) 信號
4. 能量 (energy) 與功率 (power) 信號
5. 決定性 (deterministic )與隨機 (stochastic) 信號

簡單說明如下：
1.1.1 連續時間與離散時間信號
如同字面上的意思，若一個信號的值可以在連續的時間點上指定，稱為連續時間信號，例如：
\[x(t)=e^t,\,\,\, t\in\mathbb{R}.\]
若信號的值僅存在於離散的時間點上則稱為離散時間信號，例如：
\[u[n]=\sin n, \,\,\, n=0, 1, 2, 3,...\]
1.1.2 類比與數位信號
一般同學容易將類比信號與連續時間信號搞混，這兩種信號分類並不相同；同樣地，數位信號與離散時間信號也是不同的信號分類。若一個信號的振幅可以是任意的連續數值 (當然一般而言是在某一個範圍之內)則稱為類比信號，亦即該信號的可能數值有無限多個；反之，若該信號的振幅僅可能是有限個數值中的某一個值，則稱為數位信號。若是從函數的觀點來看，對一個信號而言，其振幅可以視為是時間的函數，亦即時間是自變數，振幅是應變數。因此，自變數是連續的為連續時間信號，自變數是離散的則為離散時間信號；應變數為連續的稱為類比信號，應變數為離散的稱為數位信號 (參考圖1，取自B.P. Lathi, "Modern Digital and Analog Communication Systems)。

圖1.1 四種不同的信號：(a)類比、連續時間信號 (b)數位、連續時間信號
(c)類比、離散時間信號 (d)數位、離散時間信號

1.1.3 週期與非週期信號
對一個信號$g(t)$而言，若存在正值$T_0$，使得$g(t)=g(t+T_0)$，對所有的$t$均成立，則稱$g(t)$為週期信號 (periodic signal)，滿足上述條件的最小正數$T_0$，稱為$g(t)$之週期。若$g(t)$不為週期信號，則稱為非週期 (aperiodic) 信號。

1.1.4 能量與功率信號
對一個信號$g(t)$而言，其能量 (Energy) 定義為：
\[E=\int^{\infty}_{-\infty}\vert g(t)\vert^2 dt\]
功率 (power) 係定義為
\[P=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int^{T/2}_{-T/2}\vert g(t)\vert^2 dt\]
若$g(t)$的能量為有限，則稱為能量信號；反之，若$g(t)$的功率不為零，且為有限數值，則稱為功率信號。觀察上列兩個方程式可以看出來，功率係為能量的時間平均。由於時間平均的區間為無限大，因此若$g(t)$為能量信號，其功率必為零；反之，若$g(t)$的功率為有限，則其能量必為無限大。換句話說，一個信號不可能同時是能量信號又是功率信號；但有可能既不是能量信號也不是功率信號，例如斜坡信號 (ramp signal)。

1.1.5 決定性與隨機信號
若一個信號可以利用物理或者數學方式完整描述，或者可以利用時間的函數來表示，在任何時間點其函數值是可確定的，稱為決定性信號。反之，若在任一時刻，其數值僅能用機率的方式來描述，例如期望值、標準差等，則稱為隨機信號。在通訊原理中，一般說來系統中的雜訊都是以隨機信號的方式來表示。

Example: Find $P$ and $E$ for the signal $x(t)=e^{-2t}u(t)$, where $u(t)$ is the unit step function.
Solution:
\[ E=\int^{\infty}_{-\infty}\vert e^{-2t}u(t)\vert^2 dt = \int^{\infty}_0 e^{-4t}dt = \frac{1}{4} \]
\[ P=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int^T_{-T}\vert e^{-2t}u(t)\vert^2 dt = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int^T_0 e^{-4t} dt = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1-e^{-4T}}{8T} = 0\]
Therefore, $x(t)$ is an energy signal.