GPS似乎是目前唯一需要考慮相對論效應的商用系統 (或者至少是第一個)。依據狹義相對論(Special Theory of Relativity)，移動中的物體，時間會變慢，而依據廣義相對論 (General Theory of Relativity)，在高處的物體(重力較小)，時間會變快。GPS衛星的移動速度大約每秒4公里(時間變慢)，距離地表約兩萬多公里(時間變快)，兩者的效應並不會完全抵消。相對論效應對GPS的影響，在下列這篇文章中有詳細的推導與說明。
N. Asby and J. J. Spilker Jr., "Introduction to Relativistic Effects on the Global Positioning System," Chapter 13 in Global Positioning System: Theory and Applications Vol. 1, AIAA, 1996.
這篇文章介紹得十分詳細，但是相對的也比較難讀。後來發現在Serway寫的近代物理：
R. A. Serway, C. J. Moses, and C. A. Moyer, Modern Physics, 3rd Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.
這本書中也提到這個問題，而且講得比較淺顯易懂。我想利用這篇文章介紹一下Serway的方法，大致上分為四個步驟。
1. 假設GPS衛星運動是一個正圓形軌道，繞行地球一周的週期是11小時58分，依據牛頓運動定律以及萬有引力定律可知：
\[\sum F = ma\Rightarrow \frac{GM_E m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = \frac{m}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 \]
其中，$G=6.67\times 10^{-11}\rm{N}\cdot\rm{m}^2$是地球重力常數，$M_E = 5.98\times 10^{24}\rm{kg}$是地球的質量，$T=43080\rm{s}$是軌道週期，$m$是衛星的質量，$r$是軌道半徑。帶入上式化簡之後，可得到軌道半徑為：
\[ GM_ET^2 = 4\pi^2r^3\Rightarrow r=2.66\times 10^7 \rm{m} \]
2. 第二步驟是計算衛星的速率。由第一步驟得到的軌道半徑，以及軌道週期，可以得到衛星的運動速率$v$，如下：
\[ v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi(2.66\times 10^{-7})\rm{m}}{43080\rm{s}} = 3.87\times 10^3 \rm{m/s} \]
3. 第三步驟是計算由於衛星的移動所造成之時間膨脹因子 (狹義相對論)。每一個GPS衛星上都會承載一個振盪器(其基礎振盪頻率為10.23 MHz，其他訊號的頻率都是這個頻率乘上或者除以一個整數)，用以產生GPS訊號的載波頻率。民用的頻率為1575.42 MHz ( = 10.23 MHz $\times$ 154)，或者更精確一點來說，在衛星的參考座標上，訊號的傳送頻率為1575.42 MHz。當地面的使用者接收到衛星訊號時，由於時間膨脹的影響，訊號的頻率會有些微的改變。時間膨脹因子通常以$\gamma$表示
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \]
其中$c$為真空中的光速。為了簡化起見，這邊是令$c=3\times 10^8\rm{m}$。利用Lorentz Transformation，可得到發射頻率$f_{\rm source}$與觀測頻率$f_{\rm obs}$之間的關係，如下：
\[ f_{\rm obs} = \frac{\sqrt{1-(v/c)^2}}{\sqrt{1+(v/c)^2}}f_{\rm source} \]
上面這個方程式的推倒，請讀者自行參閱Serway的書。由上面這個方程式，可得到因為時間膨脹造成的頻率變化為：
\[ \Delta f_{\rm special} = (1-\gamma)f_{\rm source} \]
為了之後運算方便起見，通常是以fractional change，也就是以百分比的方式表示：
\[ \frac{\Delta f_{\rm special}}{f_{\rm source}} = 1-\gamma \approx -8.34\times 10^{-11} \]
4. 第四步驟是計算廣義相對論的影響。由於廣義相對論所造成頻率之fractional change，可以表示如下：
\[\frac{\Delta f_{\rm general}}{f_{\rm source}} = \frac{\Delta U_g}{mc^2} \]
其中，$U_g=-\frac{GM_Em}{r}$為重力位能，$\Delta U_g/m$表示發射端與接收端之間，單位質量的位能變化。這個方程式的推導，同樣請讀者參閱Serway的書。由於衛星距離地表的高度，相較於地球的半徑$\rho = 6.37\times 10^{6}$而言，要大得多，因此$\Delta U_g$的計算可以近似為：
\[\Delta U_g = -\frac{GM_Em}{r} + \frac{GM_Em}{\rho} \]
帶入適當的數值之後可得$\Delta U_g = 4.76\times 10^{7}\rm{J/kg}m$。因此，由於重力所造成頻率之fractional change為：
\[ \frac{\Delta f_{\rm general}}{f_{\rm source}} = \frac{\Delta U_g}{mc^2} = +5.29\times 10^{-10} \]
最後，將第三、第四步驟得到之值合起來，即爲全部之fractional change:
\[ -8.34\times 10^{-11} + 5.29\times 10^{-10} = +4.46\times 10^{-10} \]
衛星上面所承載的振盪器基礎頻率是10.23 MHz，由於相對論的影響，官方會將頻率調低大約$10.23\times 10^6\times 4.46\times 10^{-10}\approx 0.00456\rm{Hz}$。
下面這個連結：
GPS, Relativity, and Nuclear Detection
是一個Youtube的影片，提到當初設計GPS的科學家不太相信相對論會有多大的影響，因此沒有將頻率調整，結果不到一天GPS定位誤差就大到不能使用。
