1. 群 (Groups)
令$S$代表一個集合,並令$S\times S$表示所有序對(ordered pairs):{$(s, t)$: $s\in S, t\in S$},所形成的集合。則將$S\times S$的元素,映射至$S$的運算,稱為二元運算 (binary operation)。在此定義之下,$(s, t)$經二元運算之後的像 (image),必須落在$S$裏面,此為二元運算的封閉性 (closure property)。一個集合$S$,以及一個 (或多個) 二元運算合起來,即構成一種代數結構 (algebraic structure),或者稱為代數系統 (algebraic systems)。在基本的算術中,加法以及乘法是最常見的兩種二元運算。加法以及乘法最重要的特性是具備結合性 (associativity),在具備結合性的代數結構中,最常被研究並且發展最完整的,是數學上稱為群 (Group) 的代數系統。
Definition. 給定一個集合$G$,以及一個二元運算$\ast$。假設$\ast$滿足下列性質:
1. $\ast$具備結合性,亦即對於任意的$a, b, c\in G$,皆滿足$a\ast (b\ast c) = (a\ast b)\ast c$。
2. 在$G$中存在一個元素$e$,使得對任意的$a\in G$,滿足$a\ast e = e\ast a = a$;$e$稱為單位 (identity) 元素。
3. 對任意的$a\in G$,皆可在$G$中找到一個元素,表示為$a^{-1}$,滿足$a\ast a^{-1} = a^{-1}\ast a$;$a^{-1}$稱為反 (inverse) 元素。
則稱$(G, \ast)$ (或者簡寫為 $G$) 為群。進一步地,若$\ast$又滿足下列性質:
4. 對任意的$a, b\in G$,皆滿足$a\ast b = b\ast a$,
則稱$G$為交換群 (abelian or commutative group)。
不難證明,單位元素$e$以及給定$a$之後的反元素$a^{-1}$都具有唯一性。基本的算術四則運算,不難證明加法與乘法也滿足群的性質。在上述定義中,$\ast$不一定單指乘法,但若確實是乘法,通常$a\ast b$會簡寫為$ab$。