Two-Port Networks

雙埠網路(Two-Port Network)在電子學中佔有重要的地位，大學的基礎電子學課程一直在重複的應用雙埠網路的理論。在電路中，電流可以從端點(terminal)流進或者流出，成對的端點即可構成一個埠(port)。電路中的三個基本元件：電阻、電感以及電容都是雙端點元件，可以形成一個單埠網路(one-port network)，大學的基礎電路學大部份的時間都是在研究單埠網路。電阻、電容以及電感這三個基本元件，稱為被動元件(passive elements)。

圖1. (a)單埠網路 (b)雙埠網路

在電子學中，除了雙端元件之外，還多了三端(例如電晶體)以及四端(例如運算放大器、MOS)元件。此時，電路的分析便需要利用雙埠網路。一般而言，一個複雜的電路(或者網路)可以有n個埠，但是在初學的階段，雙埠網路已經足夠。如圖1(b)所示，雙埠網路有兩組端點對(terminal pairs)，對網路的存取都是透過端點來進行，電流從成對端點的一頭流入，從另一頭流出(當然必須滿足電路的特性，亦即流進的電流必須等於流出的電流)。雙埠網路的目的實際上是希望簡化電路分析的過程，將複雜的網路化簡成一個線性電路，僅需要幾個參數即可描述電路的特性。另外，若要將雙埠網路加入至另一個更大更複雜的網路，此時可將雙埠網路視為一個"黑盒子"(black box)，對於外部更大的網路而言，不需要知道其內部實際電路為何，僅需要知道雙埠輸入輸出之電壓電流關係即可進行電路分析。

雙埠網路的另一個重要特性是"線性化"，也就是將一個複雜的電路，利用簡單的線性模型來表示。在圖1(b)中，$(V_1, I_1)$與$(V_2, I_2)$之間可能存在非常複雜的非線性關係(例如在半導體元件中，電流電壓的關係通常需要高度非線性的方程式來描述)，分析起來不容易。在一些合理的假設條件之下(學過電子學的同學應該知道，就是所謂的小信號條件，small-signal condition)，可以使用線性模型來描述$V_1,V_2,I_1,I_2$之間的關係。線性模型實際上就是一個線性映射(linear transformation)，從$V_1,V_2,I_1,I_2$之中選擇兩個量為自變數，另外兩個量為應變數，則描述這四個量之間數學關係的線性映射為一個$2\times 2$的矩陣，換句話說需要四個參數即可完整描述雙埠網路的線性模型。依據自變數與應變數選擇方式的不同，可得到四種雙埠網路參數，分別敘述如下。

圖2. 電壓源驅動雙埠網路

Impedance Parameters
考慮如圖2所示之雙埠網路，我們稱左邊的埠為Port 1(or input port)，右邊的埠為Port 2 (or output port)。在假設該電路為線性網路的情況下，埠1及埠2的端點電壓與電流之間的關係可以表示為：
$$\begin{array}{l} {V_1} = {z_{11}}{I_1} + {z_{12}}{I_2}\\ {V_2} = {z_{21}}{I_1} + {z_{22}}{I_2} \end{array}\hspace{2cm}\mbox{(1)}$$
或者以矩陣的符號可以表示為：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}}\\ {{V_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_{11}}}&{{z_{12}}}\\ {{z_{21}}}&{{z_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}\\ {{I_2}} \end{array}} \right] = {\bf{Z}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}\\ {{I_2}} \end{array}} \right]$$
其中$\{z_{11},z_{12},z_{21},z_{22}\}$稱為雙埠網路的阻抗參數(impedance parameters)，或者稱為$z$參數。 那麼這些參數如何求得？從數學的角度來看，當然是利用偏微分：
$${z_{11}} = \frac{{\partial {V_1}}}{{\partial {I_1}}},{z_{12}} = \frac{{\partial {V_1}}}{{\partial {I_2}}},{z_{21}} = \frac{{\partial {V_2}}}{{\partial {I_1}}},{z_{22}} = \frac{{\partial {V_2}}}{{\partial {I_2}}}.$$
可是，這樣的物理意義並不明顯。另一種方式則是分別令$I_1=0$(input port open-circuited)或者$I_2=0$(out port open-circuited)，則由(1)式可得
$${z_{11}} = {\left. {\frac{{{V_1}}}{{{I_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}},{z_{12}} = {\left. {\frac{{{V_1}}}{{{I_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}},{z_{21}} = {\left. {\frac{{{V_2}}}{{{I_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}},{z_{22}} = {\left. {\frac{{{V_2}}}{{{I_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}}.\hspace{1cm} \mbox{(2)}$$
這樣的表示方式，應該可以明顯看出$z$參數的物理意義：由於電路中，電流為零代表開路，因此上式的意思係指我們只要適當的將port 1或者port 2開路，並且量測得到對應的電壓電流的關係即可求得$z$參數。

• $z_{11}$ = open-circuit input impedance
• $z_{12}$ = open-circuit transfer impedance from port 1 to port 2
• $z_{21}$ = open-circuit transfer impedance from port 2 to port 1
• $z_{22}$ = open-circuit output impedance

圖3. 決定$z$參數：(a)求$z_{11}$與$z_{21}$, (b)求$z_{21}$與$z_{22}$.

由於$z$參數係將輸出或者輸入開路所得到的，因此也稱為開路阻抗參數(open-circuit impedance parameters)。依據第(2)式，將電壓$V_1$接至port 1，且將port 2開路，並測得$I_1$以及$V_2$(例如利用電流計與電壓計)，如圖3(a)，則可求得$z_{11}$與$z_{21}$為
$${z_{11}} = \frac{{{V_1}}}{{{I_1}}},{z_{21}} = \frac{{{V_2}}}{{{I_1}}}.$$
同理，欲求得$z_{21}$與$z_{22}$則將電壓$V_2$接至port 2，且將port 1開路，如圖3(b)，並測得$I_2$以及$V_1$，則
$${z_{12}} = \frac{{{V_1}}}{{{I_2}}},{z_{22}} = \frac{{{V_2}}}{{{I_2}}}.$$

Admittance Parameters
第二種模型，係將兩端的電流，以兩端的電壓來表示，因此稱為導納參數(admittance parameters)。方程式如下：
$$\begin{array}{l} {I_1} = {y_{11}}{V_1} + {y_{12}}{V_2}\\ {I_2} = {y_{21}}{V_1} + {y_{22}}{V_2} \end{array}\hspace{2cm}\mbox{(3)}$$
或者以矩陣的符號可以表示為：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}\\ {{I_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{11}}}&{{y_{12}}}\\ {{y_{21}}}&{{y_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}}\\ {{V_2}} \end{array}} \right] = {\bf{Y}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}}\\ {{V_2}} \end{array}} \right]$$
其中$\{y_{11},y_{12},y_{21},y_{22}\}$稱為雙埠網路的導納參數，或者稱為$y$參數。如同在計算$z$參數的方式，適當地令$V_1 = 0$或者$V_2 = 0$，可以求得這些參數，如下：

$${y_{11}} = {\left. {\frac{{{I_1}}}{{{V_1}}}} \right|_{{V_2} = 0}},{y_{12}} = {\left. {\frac{{{I_1}}}{{{V_2}}}} \right|_{{V_1} = 0}},{y_{21}} = {\left. {\frac{{{I_2}}}{{{V_1}}}} \right|_{{V_2} = 0}},{y_{22}} = {\left. {\frac{{{I_2}}}{{{V_2}}}} \right|_{{V_1} = 0}}.\hspace{1cm} \mbox{(4)}$$

圖4. 決定$y$參數：(a)求$y_{11}$與$y_{21}$, (b)求$y_{21}$與$y_{22}$.

電路中，若令電壓為零，表示係將電路短路，因此$y$參數是將電路的輸出或者輸入短路所得到的，也稱為短路導納參數。

• $y_{11}$ = short-circuit input admittance
• $y_{12}$ = short-circuit transfer admittance from port 2 to port 1
• $y_{21}$ = short-circuit transfer admittance from port 1 to port 1
• $y_{22}$ = short-circuit output admittance

Hybrid Parameters
有些時候電路的$z$與$y$參數可能不存在，因此需要另一種參數的模型。第三種參數的模型，是令$V_1$以及$I_2$為相依變數，$I_1$以及$V_2$視為獨立變數，可得到下列方程式：
$$\begin{array}{l} {V_1} = {h_{11}}{I_1} + {h_{12}}{V_2}\\ {I_2} = {h_{21}}{I_1} + {h_{22}}{V_2} \end{array}\hspace{2cm}\mbox{(5)}$$
或者以矩陣的符號可以表示為：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}}\\ {{I_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_{11}}}&{{h_{12}}}\\ {{h_{21}}}&{{h_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}\\ {{V_2}} \end{array}} \right] = {\bf{H}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}\\ {{V_2}} \end{array}} \right]$$

此種參數模型稱為混合參數(hybrid parameters)或者簡稱為$h$參數，經常用於描述電晶體等電子電路元件，理想的變壓器也可以利用$h$參數模型來描述。$h$參數的計算方式如下：

$${h_{11}} = {\left. {\frac{{{V_1}}}{{{I_1}}}} \right|_{{V_2} = 0}},{h_{12}} = {\left. {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}},{h_{21}} = {\left. {\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}}} \right|_{{V_2} = 0}},{h_{22}} = {\left. {\frac{{{I_2}}}{{{V_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}}.\hspace{1cm} \mbox{(6)}$$

圖5. 雙埠網路的$h$參數模型

四個$h$參數的名稱定義如下：

• $h_{11}$ = short-circuit input impedance
• $h_{12}$ = open-circuit reverse voltage gain
• $h_{21}$ = short-circuit forward current gain
• $h_{22}$ = open-circuit output admittance

Inverse Hybrid Parameters
另一組與$h$參數類似的模型，稱為$g$參數，或者反向混合參數 (inverse hybrid parameters)，係將$V_2$以及$I_1$當作相依變數，$V_1$以及$I_2$視為獨立變數，方程式如下：
$$\begin{array}{l} {I_1} = {g_{11}}{V_1} + {g_{12}}{I_2}\\ {V_2} = {g_{21}}{V_1} + {g_{22}}{I_2} \end{array}\hspace{2cm}\mbox{(7)}$$
或者以矩陣的符號可以表示為：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}\\ {{V_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_{11}}}&{{g_{12}}}\\ {{g_{21}}}&{{g_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}}\\ {{I_2}} \end{array}} \right] = {\bf{G}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}}\\ {{I_2}} \end{array}} \right]$$

圖6. 雙埠網路的$g$參數模型

$g$參數的計算方式如下：

$${g_{11}} = {\left. {\frac{{{I_1}}}{{{V_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}},{g_{12}} = {\left. {\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right|_{{V_1} = 0}},{g_{21}} = {\left. {\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}},{g_{22}} = {\left. {\frac{{{V_2}}}{{{I_2}}}} \right|_{{V_1} = 0}}.\hspace{1cm} \mbox{(8)}$$

四個$h$參數的名稱定義如下：

• $g_{11}$ = open-circuit input admittance
• $g_{12}$ = short-circuit reverse current gain
• $g_{21}$ = open-circuit forward voltage gain
• $g_{22}$ = short-circuit output impedance

其他還有很多種不同的參數模型，例如在高頻微波電路中經常使用的$S$參數模型，就等以後有空再說吧，先這樣。

參考資料：C. K. Alexander and M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, Third Edition.