第7章 GPS載波相位觀測量定位

在第四章中，我們曾經分析電碼相位以及載波相位定位的精確度，在不考慮接收機雜訊以及多路徑效應影響的情況下，電碼相位的定位精確度大多處於公尺等級，而載波相位的定位精確度可達0.01至0.05個週期 (大約2 mm至1 cm)，因此公分等級的精確定位，需要利用載波相位觀測量。載波相位觀測量大多係採用相對定位 (relative positioning) 的方式，其基本概念是將在兩個不同觀測點上的，同一時間的觀測量相減 (亦即差分, difference)，以消去兩者之間的共同誤差，再重新定義問題的參數，以使用這些差分過後的量測量估測這兩個點之間的相對位置向量。GPS系統原本的設計是使用電碼相位觀測量進行定位，GPS系統的設計者並未預期可以提供公分等級的定位精確度，最早展示GPS確實具備精密定位能力，係在1970年代末期，由Counselman以及他在MIT的同事，在論文[1][2]中提出。近代GPS載波相位一次差分以及二次差分的概念，最早都是由Counselman提出。

第7.1節 載波相位與整數未定值

考慮如圖7‑1所示之兩台GPS接收機架構，其天線位置分別以A與B表示，這兩架接收機皆追蹤來自同一顆衛星的載波相位，我們的目的係要精確地量測兩個天線之間的距離d，其中我們假設角度θ₀為已知。依據波動理論，來自衛星的平面波波前 (plane wav front) 代表固定的載波相位，從圖中可以看出來，假設在t₀時某一波前首先到達天線B，則再經過數個整數週期以及一個分數週期 (fractional cycle) 之後，該波前到達天線A，假設該分數週期為Δ₀，由此可知在這兩個天線之間的載波相位觀測量的差必為一特定個數的整數週期加上該分數週期Δ₀。由於正弦波週期信號本身的特性，一開始我們無法判定整數周期的個數，僅能得知該分數周期Δ₀的大小。若以φ_A與φ_B分別表示天線A以及天線B的載波相位，則這兩個天線之間的相位差可以表示為：

\[{\phi _{AB}}({t_0}) = {\phi _A}({t_0}) - \phi ({t_0})=
{\Delta _0} + N\]
其中$N$為未知整數，一般稱為整數週波未定值(integer cycle ambiguity)。若可以決定$N$之值，則由圖7-1(a)中的幾何關係，可以精確地求得$d$之值，如下

(7.1-1)          $d\cos {\theta _0} = \lambda ({\Delta _0} + N).$

若兩個地面接收機的相對位置保持固定，且接收的衛星也固定，則觀測到的載波相位差(Δ₀) 也會維持固定，在此情況下將無從判定N之值。若在一段時間之後，衛星的位置明顯改變，衛星與接收機之間的幾何結構也改變，此時接收機之間的載波相位差也會改變，如圖7‑1(b)所示，此時可利用兩個不同時間所量測到之載波相位差，求解整數週波未定值。假設兩台接收機接連續地追蹤同一顆衛星的載波相位，在時間t₁時，衛星的仰角從θ₀變化至θ₁，兩台接受機所觀測到之相位差也從Δ₀變成Δ₁，若兩台接收機追蹤衛星之信號未曾間斷，則整數週波未定值也不會改變。由於兩台接收機的位置並未改變，因此

(7.1-2)          $d\cos {\theta _1} = \lambda ({\Delta _1} + N).$

將方程式(7.1‑1)與(7.1‑2)重新整理如下

(7.1-3)          $\begin{array}{l} d'\cos {\theta _0} - N = {\Delta _0},\\ d'\sin {\theta _1} - N = {\Delta _1}, \end{array}$

其中d’ = d/λ。注意在上式中單位為周 (cycle)。(7.1‑3)式為二元一次方程組，未知變數為d’與N，其解可以表示為

(7.1-4)          $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{d'}\\
N
\end{array}} \right] = \frac{1}{{(\cos {\theta _1} - \cos {\theta _0})}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
{ - \cos {\theta _1}}&{\cos {\theta _0}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\Delta _0}}\\
{{\Delta _1}}
\end{array}} \right].$

從上式中不難看出，當θ₀與θ₁很接近時，方程組(7.1‑3)的解，會變成所謂的變態解 (ill-conditioned)，亦即Δ₀與Δ₁產生的微小誤差，會造成方程式解(d’, N)極大的誤差。因此，利用(7.1‑4)式求解整數週波未定值，t₀與t₁的時間間隔必須夠大，以確保θ₀與θ₁差異夠大，此時即可利用(7.1‑4)求解整數週波未定值N以及接收機之間的相對距離d’。這種接收機與衛星之間幾何結構的改變，文獻上稱為幾何多樣性(geometric diversity)。

上述方法雖然在理論上可行，但是為了確保衛星與接收機之間的幾何多樣性，通常需要等待一段時間(大約30分鐘以上)，這在實用上有些時候不是非常方便，因此在1985年時，學者Remondi提出一種可以快速改變衛星-接收機幾何的方法，稱為天線互換 (antenna swap)[4]。假設A與B兩點之間的距離足夠近，在量測到初始相位差Δ₀之後，我們可以將A與B兩個天線位置互換 (注意此時A與B兩台接收機必須持續追蹤同一顆衛星的信號)，若互換時間很短，我們可以假設衛星位置並沒有明顯的改變，則因為天線互換，衛星信號到達天線B的路徑長度會增加d’cosθ₀，反之到達天線A的路徑長度會減少d’cosθ₀。假設在天線交換之後所量測到之相位差為，則交換前後的相位變化與d’cosθ₀之關係可以寫為

\[{\Delta '_0} - {\Delta _0} =  - 2d'\cos {\theta _0}.\]

直接求解可得

\[d' = \frac{{({{\Delta '}_0} - {\Delta _0})}}{{2\cos {\theta _0}}}.\]

代入(7.1‑1)式中，即可求得整數週波未定值為

\[N = d'\cos {\theta _0} - {\Delta _0} =  - \left( {\frac{{{{\Delta '}_0} + {\Delta _0}}}{2}} \right).\]

只要衛星持續追蹤該顆衛星的信號，整數週波未定值也不會改變，換句話說N之值僅需求解一次，一旦求得該衛星的整數未定值，接收機即可自由移動。但是，若接收機並未連續追蹤該顆衛星信號，例如發生週波跳動 (cycle slip) 的現象，則必須重新求解整數週波未定值。

第7.2節 載波相位觀測量與精密定位

在第四章中我們曾介紹GPS的載波相位觀測量，為了方便起見，將載波相位方程式重複如下：

(7.2-1)          $\phi  = {\lambda ^{ - 1}}(r - I + T) + f \cdot (\delta {t_u} - \delta {t^s}) + N + {\varepsilon _\phi },$  (單位為周, cycles)

其中，λ與f分別為載波的波長與頻率，r為衛星與接收機之間的幾何距離，I與T分別為電離層超前 (ionospheric advance) 以及對流層延遲 (tropospheric delay)，衛星以及接收機時鐘偏差分別以δt^s以及δt_u表示，N代表整數週波未定值，表示載波相位量測量的模型誤差。載波相位觀測量與電碼相位觀測輛主要差別有兩點：首先，電碼相位觀測量基本上並沒有整數未定值的問題，而載波相位觀測量因為具有整數未定值，必須先解出未定值之後 (或者消去未定值)，才有辦法利用載波相位來進行定位；其次，載波相位觀測量的量測可以非常精準，而電碼相位觀測量的量測則較為粗糙。舉例而言，市面上一些較高階的GPS接收機，若不考慮其他誤差的影響，載波相位量測誤差的標準差大約可以精確至$\sigma ({\varepsilon _\phi }) \cong 0.025{\rm{ cycle}}$(5毫米)，而電碼相位觀測量誤差的標準差大約為$\sigma ({\varepsilon _\phi }) \cong$0.5 m。

GPS載波相位觀測量大多是採用相對定位 (relative positioning) 的方式，利用在兩個不同地點的GPS相位觀測量，計算兩地之間的相對位置向量 (relative position vector)，在測量學上稱此相對位置向量為基線向量 (baseline vector)，或者簡稱為基線。利用GPS進行精密的相對定位，需要在兩個不同點上同時接收載波相位觀測量，天線在參考位置 (座標為已知) 上的接收機稱為參考接收機 (reference receiver) 或者參考站，而第二架接收機天線位置係在待測的點上，稱為移動接收機 (mobile receiver or rover) 或者移動站。利用載波相位相對定位需要一個所謂”初始化” (initialization) 的過程，亦即求解整數週波未定值，若是在初始化以及定位的過程中，移動站以及參考站皆為靜止狀態，稱為靜態測量 (static survey)。事實上，在相對定位過程中，一旦求得整數未定值，移動站即可自由移動，因此靜態測量實際上僅要求在初始化的過程中移動站是靜止的。而在初始化的過程中，若移動站可以自由移動則稱為動態測量 (kinematic survey)。早期 (1980年代)，動態初始化的方法尚未發現，靜態GPS測量通常需要接收機處於靜止的狀態，接收大約一小時左右的載波相位觀測量之後，等待衛星幾何分佈有明顯的改變，以求解整數未定值。在1993年，學者Talbot最早提出動態初始化的方法[5]，可以動態地進行相對定位，使得大地測量更有效率，此種方法稱為即時動態定位 (real-time kinematic positioning，簡寫為RTK)，在RTK模式下，參考站透過適當的數據鏈，將載波相位觀測量即時地傳送至移動站。RTK技術的關鍵是移動站必須有能力可以在運動的狀況下，估測整數未定值，此種方式稱為On-The-Fly (OTF) Initialization。

(待續)

References:

1. C.C. Counselman III, I.I. Shapiro, R.L. Greenspan, and D.B. Cox, Jr., “Backpack VLBI Terminal with Subcentimeter Capability,” Proc. Radio Interferometric Techniques for Geodesy, NASA Conference Publication, Vol. 2115, pp. 409-413, 1979.
2. C.C. Counselman III and Sergei Gourevitch, “Miniature Interferometer Terminals for Earth Surveying: Ambiguity and Multipath with Global Positioning System,” IEEE Transactions on Geosciences and Remote Sensing, Vol. GE-19, No. 4, pp. 244-252, 1981.
3. Patrick Y.C. Hwang, “Kinematic GPS for Differential Positioning: Resolving Integer Ambiguities on the Fly,” Navigaiton, Vol. 28, No. 1, pp. 1-15, 1991.
4. Benjamin W. Remondi, “Centimeter-Level Surveys in Seconds with GPS Carrier Phase: Initial Results,” Navigaiton, Vol. 32, No. 4, pp. 386-400.
5. Nicholas Talbot, “Centimeters in the Field, A User’s Perspective of Real-Time Kinematic Positioning in a Production Environment,” Proc. ION GPS-93, pp. 1049-1057, 1993.