第3章 GPS座標與時間系統 (II)

第3.2節 全球座標系統
3.2 全球座標系統
座標系統的定義，在導航系統中佔有重要的角色，座標系統就其涵蓋範圍來區分，應可大致分為本地座標系統 (Local-Level Coordinate System) 以及全球座標系統 (Global Coordinate Systems)，在日常生活中，一般大眾並不太需要用到所謂的全球座標系統 (例如我與朋友相約，我不會跟他說我們約在東經121度52分，北緯24度31分的地方見面)。但是，作為一個全球通用的導航系統，GPS系統必須定義一個全世界任何地方均可適用的座標系統，也就是全球座標系統。全球座標系統必須可以用來描述地球上任意一點的三度空間座標，在GPS導航系統中，常用的全球座標系有兩種：地心固連 (或者稱為地心地固Earth-Centered, Earth-Fixed; ECEF) 座標系統以及地球慣性 (Earth-Centered, Inertial; ECI) 座標系統。全球座標系統是一種卡氏座標系統，由我們在上一節中的討論可知，定義一個卡氏座標系統最主要的元素包括原點以及三個互相垂直的座標軸。所以，我們在定義地心固連座標系統以及地球慣性座標系統時，實際上就是在指定其原點所在位置，以及三個座標軸的指向。

3.2.1 地球座標系統與慣性座標系統
在定義地球座標系統時，經常會用到所謂參考子午線以及參考橢球的概念，因此我們先將其定義整理如下：

定義3.1 (參考橢球) 給定一平面上之橢圓，其半長軸a為地球平均半長軸而且與x軸平行，半短軸b為地球平均半短軸而且與z軸平行，若將此橢圓延地球自轉軸旋轉180o，所形成之球體即稱為大地參考橢球 (Reference Ellipsoid) 或者簡稱為參考橢球 (見圖3.6)。參考橢球之球心位於地球的地理中心，其與xz平面相切之切面稱為參考子午線(Reference Meridian)，與xy平面相切之切面稱之為平均赤道面 (Mean Equator) 或者簡稱為赤道面。

在上面的定義中，除了z軸定義為地球的自轉軸之外，x軸與y軸尚未定義，事實上，根據x軸定義的不同，即產生不同的大地座標系統，常用的定義方式有兩種。首先我們考慮第一種定義方式，假設地球的質量中心為座標原點，地球的自轉軸為z軸，而x軸通過赤道面與格林威治平均子午線 (Mean Greenwich Meridian) 的交點，y軸則由x軸與z軸以右手定則決定，則此座標系即稱為地心固連坐標系統。這個定義方式最大的問題是地球的自轉軸實際上並不是固定的，而是進行一種近乎週期性的運動，稱之為極軸運動效應或者極動 (polar motion)，因為赤道面與自轉軸垂直，因此赤道面也會跟著移動，而一旦赤道面移動，經緯線的定義也會跟著變動。圖3.7所示為2000年至2005年間之瞬時極軸位置圖。

為解決這個問題，可以將z軸重新定義為地球的平均自轉軸，大地測量學者利用西元1900年至1905年間之極軸運動效應，定義所謂的協議地極 (Conventional Terrestrial Pole; CTP)，以此點定義地球的平均自轉軸。而與此自轉軸垂直之赤道面稱為CTP赤道面。

定義3.2 (協議地球座標系統) 考慮如圖3.8所示之參考橢球與卡氏直角座標系統，其原點位於地球的質量中心。若其z軸通過CTP，x軸通過CTP赤道面與參考子午線的交點，y軸由x軸與z軸以右手定則決定構成一直角座標系統，則此座標系統稱之為協議地球座標系統 (Conventional Terrestrial Reference System; CTRS)，是一種地心地固座標系統。此時，其x, y, z軸分別以$x_T, y_T, z_T$表示。

上述的定義屬於”抽象”的說法，舉例而言，實際上我們並無法”看”到地球的質心所在位置，而且參考子午線、赤道面等，也都是虛擬的線以及平面，必須透過大地量測的方法，才能將一個大地座標系統”實現” (realization) 出來。例如WGS84即為CTRS的一種實現，我們將在後面的章節介紹WGS84參考座標系統。在這裡必須先提出一項說明，由上述的大地量測方法所實現出來的座標系統，其零度經度線不再是通過格林威治天文觀測站那條著名的銅線，而是利用位於全球各地的天文觀測站，經過協調之後統計上的零度線，亦即所謂的格林威治平均子午線。

CTRS座標系統的x軸指向格林威治子午線，因此CTRS座標系統會隨著地球自轉而跟著轉動，所以CTRS並非慣性座標系統。此種座標系統適合用於描述地表附近物體的位置，但並不適合用來描述與分析衛星軌道運動。衛星軌道運動為一種向心力運動 (Central Force Motion)，其運動軌跡可以由牛頓運動定律來決定，而描述牛頓運動定律使用慣性座標系統是最佳的選擇，因為在此座標系統之下，牛頓運動定律有最簡潔的形式。接下來我們就來介紹另一種全球座標系統：地球慣性 (Earth-Centered, Inertial; ECI)座標系統。

定義3.3 地球繞太陽公轉之軌道面稱為黃道面 (Ecliptic)，而黃道面與赤道面交線所指方向即為春分點 (Vernal Equinox, 見圖3.9)。

定義3.4 (協議慣性座標系統) 考慮如圖3.10 協議慣性座標系統 (CIRS)所示之參考橢球與卡氏直角座標系統，其原點位於地球的質量中心。若其z軸通過地球的瞬時自轉軸(Celestial Ephemeris Pole; CEP)，x軸通過春分點，y軸由x軸與z軸以右手定則決定，則此座標系統稱之為協議慣性座標系統 (Conventional Inertial Reference System; CIRS)。此時，其x, y, z軸分別以$x_I, y_I, z_I$表示。

嚴格說來，上述定義並非一個真正的慣性座標系統，因為地球的質心會繞著太陽進行向心運動，即所謂的公轉，不過在實用上，在短時間之內CIRS可以視為慣性座標系統。慣性座標系統也可以稱為太空固定 (space-fixed) 系統，因為其x軸指向在太空中固定不動的恆星。除了質心會移動之外，地球的自轉軸相對於遠處的恆星而言也並非固定不動的，地球自轉軸的運動主要是由兩種不同的週期運動所構成，即所謂的進動 (precession) 與章動 (nutation)，這兩種運動是由於太陽與月亮對地球的引力所造成的。進動就是地球的自轉軸本身，會進行繞圓圈的運動 (其週期大約26,000年)，就像陀螺一樣，章動則是自轉軸會像點頭一樣，前後擺動 (週期大約18.6年)。如果地球是正圓形而且為均勻物質 (密度固定)，就不會產生進動與章動的現象，不過幸好科學家對於這兩種運動已經有充分的瞭解，可以準確的計算任何時間點 (epoch) 地球的進動與章動。

為了描述地球在太空中的方位 (姿態) 以及CIRS與CTRS兩種座標系統之間的相對關係，除了進動與章動之外，還需考慮另外兩種因素，首先是前面提到的地球的極軸運動效應，另外一個因素則是地球的自轉速率，因為地球的自轉速率實際上並不是固定不變的。綜合上述的幾項因素，我們需要五個參數來描述CTRS與CIRS之間的關係，以及地球的方位，這五個參數稱為EOP (Earth Orientation Parameter)，整理如下：

• 兩個角度($x_p$以及$y_p$) 用以描述極軸運動效應座標，亦即地球的瞬時自轉軸與CTP之間的相對位置，如圖3.11所示，其中$(x_p,y_p)$代表極軸運動效應座標 (Polar Motion Coordinate, 以CTRS座標表示)。
• 利用兩個角度來表示地球自轉軸在太空中的指向，而且必須考慮進動與章動對於地球自轉軸的影響。
• 以$\theta$角代表格林威治平均子午線與春分點之夾角，用來描述地球的自轉運動。$\theta$角的定義必須同時考慮地球非均勻自轉率的影響 (見圖3.11)。

圖3.11 CTRS與CIRS座標關係圖

地球的極軸運動效應與進動及章動不一樣的地方是到目前為止極軸運動效應仍無法精確預測，因此，CEP相對於CTP之位移  僅能利用實驗的數據來判斷當時的極軸運動座標值。$\theta$角代表格林威治平均子午線與春分點指向之夾角，也稱為格林威治視恆星時 (Greenwich Apparent Sidereal Time; GAST)。一旦地球的進動與章動可以精確的計算，我們僅需要極軸運動座標以及地球自轉角度三個參數  來描述CIRS以及CTRS兩個座標系統的相對關係。

由本章節附錄 (見第3.6節) 的討論中可知，兩個有共同原點的不同卡氏直角座標系統，可以經由一系列的旋轉矩陣 (rotational matrix，或者稱為方向餘弦矩陣Directional Cosine Matrix; DCM) 運算之後，使得兩個座標系統重疊，換句話說不同卡氏直角座標系統之間的相對關係可以由方向餘弦矩陣來表示。我們可以利用圖3.11來說明如何將慣性座標$(x_I,y_I,z_I)$轉換至ECEF座標$(x_T,y_T,z_T)$，首先將$z_I$軸固定，順時針旋轉$\theta$角，接著相對於新的$x_I$軸旋轉$-y_p$角，最後再固定新的$y_I$軸旋轉$-x_p$角，由此三次旋轉可得知CIRS系統與CTRS系統之間的座標轉換矩陣可以表示如下：

\[{\bf{x}}_T = {\bf{R}}_{2I}( - {x_p}){\bf{R}}_{1I}( - {y_p}){\bf{R}}_{3I}(\theta ){\bf{x}}_I.\]

其中$x_T$與$x_I$分別代表以CTRS與CIRS座標系統表示之位置向量，${\bf R}_{1I}$、${\bf R}_{2I}$以及${\bf R}_{3I}$分別為相對於$x_I$、$y_I$以及$z_I$軸旋轉之方向餘弦矩陣。在本書中，粗體的大寫英文字母代表矩陣，粗體小寫英文字母則代表向量。

3.2.2 大地座標系統、大地水準面以及大地基準
數學上，卡氏直角座標系統有很多好處，例如牛頓運動定律以及馬克士威方程式 (Maxwell’s Equations) 在此座標系統之下，公式較為簡潔。但是在日常生活上，卡氏直角座標系統使用起來卻嫌累贅。想像GPS接收機告訴你現在所在位置為 (1,510,900, -4,463,457, 4,293,001) (以公尺為單位)，大部分的人大概知道是在北半球 (因為z > 0)，如果你記得三角函數表，或者你的算術很好，可以用心算得知你現在位於中緯度 ($40^\circ-45^\circ$) 地區。不過，如果要判斷所在地點的高度，可能就沒有那麼容易了！在地球表面上使用直角座標的另一個缺點是就算你的高度僅有些微改變 (例如爬了一層樓)，三個座標值都會改變。因為地表接近球型，在日常生活中採用曲線座標系統 (經度longitude、緯度latitude、高度height) 反而更為便利，也就是所謂的大地座標系統 (Geodetic Coordinate System)。

大地座標系統的概念是先以一個橢球模型 (見定義3.1) 做為地球表面的近似模型，橢球表面上的任意一點僅需使用兩個角度來描述 – 經度與緯度，高度則是以相對於橢球表面的高度 (即所謂的海拔altitude) 來表示。地球的表面並不規則，甚至會隨著時間改變，因此要找到一個適當的橢球模型並不容易。早期的模型是一個球型，如圖3.12所示，由此定義出來的經度與緯度稱為地心經度 (Geocentric Longitude) 與地心緯度 (Geocentric Latitude)。一直要到牛頓發現萬有引力定律之後，人類才知道地球實際上是一個扁的橢球形 (Oblate Ellipsoid)，如圖3.13所示 (橢球的定義請參考定義3.1)，根據測量的結果，地球的長軸與短軸大約相差20公里。

由上面的敘述可知，大地座標系統除了一組ECEF座標軸以及原點之外，還需要一個參考橢球模型，而為了簡化模型複雜度，可令橢球球心與ECEF原點重疊，而橢球的旋轉軸與ECEF座標的z軸重合。有了橢球的旋轉軸與球心之後，由定義3.1可知，我們還需要兩個參數才能完整描述一個參考橢球，亦即半長軸($a$)以及半短軸($b$)，通常也以半長軸以及離心率($e$)來表示。離心率與半長軸以及半短軸的關係如下：
\[{e^2} = \frac{{({a^2} - {b^2})}}{{{a^2}}}.\]
大地測量學家則比較喜歡用扁率 (flattening, $f$) 來描述橢球，扁率的定義如下：
\[f = \frac{{(a - b)}}{a}.\]
由上面兩個式子可以得到離心率與扁率的關係，如下列方程式所示：
\[{e^2} = 2f - {f^2}.\]
接著，我們可以來定義大地座標(也稱為地理座標Geographic Coordinate，或者橢球座標Ellipsoidal Coordinate)。

定義3.5 (大地座標系統) 考慮圖3.14所示之直角座標與參考橢球，空間中的一點P其卡氏直角座標為 (x, y, z)，則其大地座標定義如下：

• 大地緯度 (geodetic latitude, φ)：P點所在的子午面上，赤道面 (x-y平面) 與P點在橢球表面的垂線之間的夾角，赤道北方緯度為正，南方為負。
• 大地經度 (geodetic longitude, λ)：在赤道面上，參考子午面以及P點所在子午面之間的夾角 (兩面角)，參考子午面 (零度子午面) 的東方經度為正。
• 大地高程 (geodetic height, h)：P點到橢球表面之間的垂直距離。

在圖3.14中，φ’ 代表地心緯度，係指$\overline {{\bf{OP}}}$與赤道面之夾角 (O為原點)。因為地球為橢球形，所以。若地表為正球形，則。但是因為實際上地球為非常接近球形的橢圓形，故一般說來$\phi  \approx \phi '$。在日常生活中，我們所謂的經緯度係指大地經緯度。將橢球表面上，所有緯度相同 (φ = constant) 的點連接其來形成的一條封閉曲線，稱為平行圈 (parallel)，所有平行圈都是圓形的。同理，將橢球上面所有經度相同 (λ = constant) 的點連接起來形成的封閉曲線，稱為子午圈 (meridian)，所有子午圈都是橢圓形。大地高程也稱為橢球高 (ellipsoidal height)，也就是P點相對於橢球面的高度，因為大地參考橢球面為一個假想的曲面，所以橢球高並沒有實際上的物理意義。因此大地測量學家定義另一種曲面，稱為大地水準面 (Geoid)。

定義3.6 考慮圖3.15。鉛垂線 (Plumb Line)、等位面 (Equipotential Surface) 以及大地水準面 (Geoid) 可分別定義如下：

• 等位面：連接所有重力位能相同的點所形成之曲面。
• 鉛垂線：與等位面垂直的線稱為鉛垂線，同時也是地心引力的方向。
• 大地水準面：與全球平均水平面 (global mean sea level) 最接近之等位面。

說明：

1. 在上述定義中，所謂”最接近”係指以最小平方法 (least squares method) 進行曲線契合 (curve fitting) 所得到之最佳解 (optimal solution)。
2. 鉛垂線也稱為垂直線 (Vertical)，與橢球面垂直的線則稱為法線 (Normal)。

定義3.7 參考圖3.16，在地形上的任意一點P其橢球高 (Ellipsoidal Height)、正高 (Orthometric Height) 與大地水準面高 (Geoidal Height) 之定義分別為：

• 橢球高：P點到參考橢球面之法線長度，亦即圖中的h。
• 大地水準面高：橢球面以及大地水準面之法線距離，亦即圖中的N。
• 正高：地表與大地水準面之鉛垂線長，以大寫H表示。

圖3‑17 大地水準面、大地水準面高以及垂線偏角 (Deflection of the Vertical)

說明：

1. 對於地表的任意一點P，通過P點的法線與鉛垂線的夾角稱為垂線偏角 (Deflection of the Vertical，見圖3.17)。
2. 一般說來，橢球高、正高以及大地水準面高有下列關係：\[h=H+N. \]上式實際上是一個近似關係 (approximate relation)，不過在大部分情況下其精確度已經足夠。
3. 橢球高以及大地水準面高均以橢球面為參考面，橢球面上方為正，下方為負，亦即在圖3.16中，N值為負。

在做地圖投影 (Map Projection) 時，比較方便的方式就是將3D的地形投影到參考橢球面上，地圖投影的方式已經超過本書涵蓋範圍，在此不詳細介紹。在這裡我們特別要注意的是，如果是區域性的地圖投影，使用全球參考橢球為基準，實際上並不合適，使用區域基準面 (Regional Datum) 可能更為精確。大多數的國家均會發展自己的區域座標系統以及參考橢球，台灣目前採用的大地基準，稱為TWD 97系統，將在後面章節介紹。大地基準與區域基準的差異如圖3.18所示。台灣的大地水準面高輪廓圖如圖3.19所示。

參考文獻

1. P. Misra and P. Enge, Global Positioning System: Signals, Measurements, and Performance, Ganga-Jamuna Press, 2001.
2. 王和盛, GPS接收機原理概論, unpublished manuscript.