Testing: Embedding iPython Notebook on Blogger

這是一個簡單的jupyter notebook範例，寫中文也可以，也支援LaTeX語法。 $$F(\omega) = \int^{\infty}_{0}f(t)e^{j\omega t}dt$$

In [1]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Make some fake data.
a = b = np.arange(0, 3, .02)
c = np.exp(a)
d = c[::-1]

# Create plots with pre-defined labels.
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(a, c, 'k--', label='Model length')
ax.plot(a, d, 'k:', label='Data length')
ax.plot(a, c + d, 'k', label='Total message length')

legend = ax.legend(loc='upper center', shadow=True, fontsize='x-large')

# Put a nicer background color on the legend.
legend.get_frame().set_facecolor('#00FFCC')

plt.show()

也可以寫腳本，可以畫圖。

內積空間

定義：設$(\mathbb{V}, \mathbb{F})$是一個向量空間，$\mathbb{V}$上的內積 (inner product) 是一個函數，記做$\bracket{\cdot}{\cdot}: \mathbb{V}\times\mathbb{V}\rightarrow \mathbb{F}$，且對所有的$\ket{\alpha}, \ket{\beta}, \ket{\gamma}\in\mathbb{V}$，滿足

1. $\bracket{\alpha +\beta}{\gamma} = \bracket{\alpha}{\gamma} + \bracket{\beta}{\gamma}.$
2. $\bracket{a\alpha}{\beta} = a\bracket{\alpha}{\beta}.$
3. $\bracket{\alpha}{\beta} = \bracket{\beta}{\alpha}^*.$ (其中，'*'表示共軛複數。)
4. 若$\ket{\alpha}\ne\ket{0}$，則$\bracket{\alpha}{\alpha} > 0$。

一個具有內積函數的向量空間，稱為內積空間 (inner product space)。

定義：考慮一個內積空間$\mathbb{V}$，若$\bracket{\alpha}{\beta}=0$，則稱此二向量為正交 (orthogonal)。

定義：假設$\mathbb{V}$是一個內積空間，定義$\Vert\alpha\Vert = \sqrt{\bracket{\alpha}{\alpha}}$為$\ket{\alpha}$的長度或範數 (norm)，範數為1的向量稱為單位向量 (unit vector)。

定義：一組基底中，若所有向量的長度皆為1，且兩兩正交，則稱該基底為單範正交基底 (orthonormal basis)。

考慮一個向量空間$\mathbb{V}$，假設$\mathcal{B} = \{\ket{1}, \ket{2}, ..., \ket{n}\}$是$\mathbb{V}$的一組基底，則任意的向量$\ket{\alpha}$, $\ket{\beta}$可以表示為：
$$\ket{\alpha} = \sum_i a_i\ket{i}$$
$$\ket{\beta} = \sum_j b_j\ket{j}$$
由內積的性質可知：
$$\bracket{\alpha}{\beta} = \sum_i\sum_j a_i^* b_j\bracket{i}{j}$$
若欲進一步推導，則需要知道如何計算$\bracket{i}{j}$。一般而言$\ket{i}$, $\ket{j}$不一定正交，但依據Gram-Schmidt定理，我們一定可以由$\mathcal{B}$造出一組正交基底。

定理：(Gram-Schmidt Orthogonalization Process) 給定一組線性獨立的向量，則必定可以經過適當的線性組合，得到一組單範正交的集合。

我們將在稍後證明上述定理 (應該會吧！)，現在先將其視位正確的，則不失一般性，我們可以假設前述的基底是單範正交基底，亦即
$$\bracket{i}{j} = \delta_{ij} = \left\{\begin{array}{l} 1,\,\,\,\, i=j \\ 0,\,\,\,\, i\ne j\end{array}\right.$$
其中$\delta_{ij}$稱為Kronecker Delta。將此結果代入前一個方程式，可得
$$\bracket{\alpha}{\beta} = \sum_i a_i^*b_j$$
本文前面曾經提到，當選定基底$\mathcal{B}$時，$\ket{\alpha}$的座標向量可以唯一決定，亦即在此基底之下，$\ket{\alpha}$可以等效地以行向量 (column vector) 來表示：
$$\ket{\alpha}\rightarrow \left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right]$$
同理，$\ket{\beta}$可以表示為：
$$\ket{\beta}\rightarrow \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right]$$
如此一來，內積$\bracket{\alpha}{\beta}$可以等效地寫為$\ket{\alpha}$的行座標向量之共軛轉置與$\ket{\beta}$之行座標向量的矩陣乘積，亦即
$$\bracket{\alpha}{\beta} = [a_1^*,\, a_2^*,\ldots, a_n^*]\left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right]$$
上述的過程可以視為是將抽象的ket-vector，"具體化"成一個$\mathbb{R}^n$空間中的行向量。這個過程也可以反轉過來，想成是將一個行向量，"抽象化"變成一個ket-vector。同樣的道理，我們也可以將每一個列向量 (row vector)，例如上面的$[a_1^*,\, a_2^*,\ldots, a_n^*]$，抽象化成一個"物件"，Paul Dirac稱這個"物件"為bra-vector (出現了！)，並記做$\bra{\alpha}$。也可以等效地想成是將ket-vector $\ket{\alpha}$取其共軛轉置之後，得到bra-vector $\bra{\alpha}$。所以實際上我們有兩個空間，一個是由ket-vector組成，也就是原本的向量空間$\mathbb{V}$，另一個空間是由bra-vector所組成，稱為對偶空間 (dual space)，內積實際上是bras與kets之間的數學運算。可以找到一組向量$\ket{i}$形成kets空間的基底，同樣也可以找到另一組向量$\bra{i}$，形成bras空間的基底。

向量空間

向量空間

定義：向量空間係由兩個集合組成，其中一個集合是由向量 (vectors) $\mathbb{V} = \{\ket{\alpha}, \ket{\beta}, \ket{\gamma},... \}$ 組成，另一個集合是由純量 (scalars) $\mathbb{F} = \{a, b, c, ... \}$ (在量子力學中，通常是複數) 構成。以及兩個二元運算，分別稱為向量加法 (vector addition) 以及純量乘法 (scalar multiplication)，這兩個集合在這兩種運算之下，具備封閉性，且必須滿足下列性質：

向量加法

1. 任意兩個向量相加，得到另一個向量 ：

$$\ket{\alpha} + \ket{\beta} = \ket{\gamma}$$

2. 向量加法具備交換性 (commutative)：

$$\ket{\alpha} + \ket{\beta} = \ket{\beta} + \ket{\alpha}$$

3. 向量加法具備結合性 (associative)：

$$\ket{\alpha} + (\ket{\beta} + \ket{\gamma}) = (\ket{\alpha} + \ket{\beta}) + \ket{\gamma}$$  

4. 存在一個向量$\ket{0}$，稱為零向量 (zero or null vector)，滿足下列性質： 

$$\ket{\alpha} + \ket{0} = \ket{\alpha}, \,\,\,\,\forall\ket{\alpha}\in\mathbb{V}$$  

5. 對$\mathbb{V}$中的每一個向量$\ket{\alpha}$，皆存在一個對應的加法反元數 $\ket{-\alpha}$，使得

$$\ket{\alpha} + \ket{-\alpha} = \ket{0}$$  

純量乘法

 6. 純量與向量相乘之後，得到另一個向量：

$$a\ket{\alpha} = \ket{\gamma}$$

7.  純量乘法相對於向量加法，具備分配性 (distributive)：

$$a(\ket{\alpha} + \ket{\beta}) = a\ket{\alpha} + a\ket{\beta}$$

8. 純量加法對純量乘法具備分配性：

$$(a+b)\ket{\alpha} = a\ket{\alpha}+b\ket{\alpha}$$

9. 一般的乘法與純量乘法具備結合性：

$$a(b\ket{\alpha}) = (ab)\ket{\alpha}$$

10. 在$\mathbb{F}$中存在一個元素$1$，使得

$$1\ket{\alpha} = \ket{\alpha}$$

稱為乘法的單位元素。 

上述這種向量符號，是Paul Dirac發明的，通常也稱為ket  vector，之後會用到另一種向量$\bra{\alpha}$，稱為bra vector (不是那個bra，只是拼法剛好一樣)。需要注意的是，在這種表示方法中，$\alpha$只是一個符號，不是一個數值。舉例來說，$\ket{1}$這個表示方法中，$1$並不是代表數值，他只是一個符號，這個向量的值不一定是$1$。

線性組合、線性相依與線性獨立

定義：假設有一組向量$S=\{\ket{\alpha}, \ket{\beta}, \ket{\gamma}, ... \}$，以及一組純量$\{a, b, c, ... \}$，則
$$a\ket{\alpha} + b\ket{\beta} +c\ket{\gamma} + \cdots$$
稱為S的一種線性組合 (linear combination)。

定義：若找得到一組不全為零的係數$\{a, b, c, ... \}$，使得
$$a\ket{\alpha} + b\ket{\beta} +c\ket{\gamma} + \cdots = \ket{0}$$
則稱$S$為線性相依 (linearly dependent)，反之則稱為線性獨立 (linearly independent)。

線性獨立有另一種等效的說法，亦即：若$a\ket{\alpha} + b\ket{\beta} +c\ket{\gamma} + \cdots = \ket{0}$，則此式成立的唯一解是係數全為零的解，$a=b=c=\cdots = 0$。

定義：若向量空間$\mathbb{V}$中的每一個向量，皆可以寫成$S$的線性組合，則稱$S$生成$\mathbb{V}$，記作span$(S)$=$\mathbb{V}$。若該集合$S$又同時為線性獨立集，則$S$為向量空間的一個基底 (basis)，基底這個集合中的向量個數，稱為$\mathbb{V}$的維度 (dimension)，記作dim$\mathbb{V}$。

假設$\mathbb{V}$的維度為$n$，選擇一組適當的基底$\mathcal{B} = \{\ket{e_1}, \ket{e_2},..., \ket{e_n}\}$，則空間中的任一個向量$\ket{\alpha}$可以唯一地表示為
$$\ket{\alpha} = a_1\ket{e_1} + a_2\ket{e_2} + \cdots + a_n\ket{e_n}$$
其中
$$(a_1, a_2,..., a_n) = \left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right]$$
稱為$\ket{\alpha}$相對於基底$\mathcal{B}$之座標向量 (coordinate vector)，當$\mathcal{B}$選定時，座標向量是唯一的。

Problem：試證明座標向量為唯一。
證明：假設
$$\ket{\alpha} = a_1\ket{e_1} + a_2\ket{e_2} + \cdots + a_n\ket{e_n},$$
且
$$\ket{\alpha} = b_1\ket{e_1} + b_2\ket{e_2} + \cdots + b_n\ket{e_n}.$$
兩式相減可得：
$$\ket{0} = (a_1-b_1)\ket{e_1} + (a_2 - b_2)\ket{e_2} + \cdots + (a_n - b_n)\ket{e_n}$$
若其中某一項係數不為零，例如$a_j \ne b_j$，可將上式同除以$a_j - b_j$並移項之後可得：
$$\ket{e_j} = -\frac{(a_1 - b_1)}{(a_j - b_j)}\ket{e_1} - \frac{(a_2 - b_2)}{(a_j - b_j)}\ket{e_2} - \cdots - \frac{(a_n - b_n)}{(a_j - b_j)}\ket{e_n}$$
此式意味$\ket{e_j}$可以表示為其他$(n-1)$個向量的線性組合，所以$\mathcal{B}$不為基底，此與問題假設矛盾，因此可知所有分量必須相等$a_1 = b_1$, $a_2 = b_3$,..., $a_n = b_n$，亦即座標向量是唯一的。

薛丁格方程式

一個粒子在空間中的"狀態"，滿足薛丁格方程式 (Schrodinger Equation)：
$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V\Psi$$
是一個波動方程式 (Wave Equation)，其中$i = \sqrt{-1}$是複數符號，$\Psi = \Psi (x, t)$是一個波函數，代表粒子在時間$t$時，"可能"出現的位置$x$；$\hbar = 1.054572\times 10^{-34}$ J-s 為普朗克常數 (Planck's Constant)；$V$是位能函數 (Potential Energy Function)。$\Psi (x, t)$代表的並非是粒子的動態，而是粒子在空間中某一個位置出現的機率，這種解釋方式是由Max Born提出來的，他的解釋是一個粒子在時間$t$時，出現在位置$x$的機率密度函數為$|\Psi (x, t)|^2$，也就是說，依據統計學的觀點
$$\int^b_a\left|\Psi (x, t)\right|^2 dx = \mbox{時間為t，在位置a與b之間發現粒子的機率}$$

如上圖所示，a與b之間的面積是機率，且由圖中可以得知，在A點發現粒子的機率，比在B點發現的機率高。可是由古典力學的觀點來看，在某一個時刻，粒子所在的位置應該是確定的，所以上述的波函數要如何解釋能？量子力學的解釋是都有可能，有點像是說粒子可能同時出現在所有滿足波函數的位置上，這就是後來大家可能聽過的薛丁格的貓的故事：在打開微波爐之前，貓可能是死可能是活，也可能兩個狀況同時存在。

現在假設我來實際觀測 (或者說是測量) 這個粒子的位置 (微波爐被打開了)，會發生甚麼事呢？實際上是我應該會在某一個位置發現粒子，例如在$C$發現，接著我再馬上重複一次測量 (馬上關上微波爐的門，然後再次打開)，此時粒子的位置會是在哪裡呢？量子學家都同意，應該還是會在$C$點上。這樣一來就衍伸出一個新的問題了，這時候機率的說法不就不成立了嗎？或者說，這時候的波函數是甚麼？物理學家Paul Dirac發明了一個新的函數，解決了這個問題。當我第一次測量的時候，粒子的狀態就會塌縮成如下圖的樣子，會是一個在$C$點上一個非常狹長的"脈波"，它的面積是1，所以幾乎可以確定會在$C$上再次發現粒子。這個函數就是我們在工數課本中提到的Delta Function (更明確的說是Dirac Delta Function)，通常記做$\delta (x)$，他也是一個"波函數"。

機率公設

定義：令$S$為樣本空間 (sample space)，$\mathcal{E}$為所有可能事件的集合類，$P$是定義在$\mathcal{E}$上的一個實數函數，若$P$滿足下列公設 (axiom)，則稱$P$為機率函數 (probability function)，並稱$P(A)$為事件$A\in\mathcal{E}$的機率：
[A1] 對任意的事件$A$, $0\le P(A)\le 1$。
[A2] $P(S)=1$。
[A3] 若$A_1, A_2, A_3,...$是一個序列的互斥事件 (亦即$A_i\cap A_j =\emptyset$ , $\forall i\ne j$)，則
$$P(A_1\cup A_2\cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_2) +\cdots$$

定理：若$\emptyset$為空集合，則$P(\emptyset)=0$。
證明：令$A$為任意的集合，則$A$與空集合為互斥事件，$A\cup\emptyset = A$。由[A3]可知
$$P(A) = P(A\cup\emptyset) = P(A) + P(\emptyset)$$
兩邊同減$P(A)$，可得：$P(\emptyset) = 0$。

定理：若$A^c$為事件$A$的補集 (亦即$A\cup A^c = S$，且$A\cap A^c = \emptyset$)，則$P(A^c)=1-P(A)$。
證明：依據補集的定義，$S$可以拆解成兩個互斥的事件$A$與$A^c$，亦即$A\cup A^c = S$。由公設[A2], [A3]可得
$$1 = P(S) = P(A\cup A^c) = P(A)+P(A^c)$$
移項之後可得：$P(A^c) = 1- P(A)$。

定理：若$A\subset B$，則$P(A)\le P(B)$。
證明：若$A\subset B$，則$B$可拆解成兩個互斥的事件，事件$A$以及事件$B\cap A^c$ (通常以$B\setminus A$表示$B\cap A^c$)。則
$$P(B) = P(A)+P(B\setminus A)$$
依據[A1]，$P(B\setminus A)\ge 0$，因此由上式可知：$P(B)\ge P(A)$。

定理：若$A$與$B$為任意兩個事件，則
$$P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B)$$
證明：$A$可以拆解成兩個互斥的事件，$A\setminus B$以及$A\cap B$，亦即
$$A = (A\setminus B)\cup (A\cap B)$$
因此，由[A3]可得
$$P(A) = P(A\setminus B) + P(A\cap B)$$

定理：假設$A$與$B$為任意兩個事件，則
$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$
證明：$A\cup B$可以拆解成兩個互斥的事件：$A\setminus B$以及$B$，則依據[A3]可知
$$\begin{array}{rcl} P(A\cup B) & = & P(A\setminus B) + P(B) \\        & = & P(A) - P(A\cap B) + P(B) \\        & = & P(A) + P(B) - P(A\cap B) \end{array}$$

GPS衛星的相對論效應

GPS似乎是目前唯一需要考慮相對論效應的商用系統 (或者至少是第一個)。依據狹義相對論(Special Theory of Relativity)，移動中的物體，時間會變慢，而依據廣義相對論 (General Theory of Relativity)，在高處的物體(重力較小)，時間會變快。GPS衛星的移動速度大約每秒4公里(時間變慢)，距離地表約兩萬多公里(時間變快)，兩者的效應並不會完全抵消。相對論效應對GPS的影響，在下列這篇文章中有詳細的推導與說明。

N. Asby and J. J. Spilker Jr., "Introduction to Relativistic Effects on the Global Positioning System," Chapter 13 in Global Positioning System: Theory and Applications Vol. 1, AIAA, 1996.

這篇文章介紹得十分詳細，但是相對的也比較難讀。後來發現在Serway寫的近代物理：

R. A. Serway, C. J. Moses, and C. A. Moyer, Modern Physics, 3rd Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.

這本書中也提到這個問題，而且講得比較淺顯易懂。我想利用這篇文章介紹一下Serway的方法，大致上分為四個步驟。

1. 假設GPS衛星運動是一個正圓形軌道，繞行地球一周的週期是11小時58分，依據牛頓運動定律以及萬有引力定律可知：

$$\sum F = ma\Rightarrow \frac{GM_E m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = \frac{m}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2$$

其中，$G=6.67\times 10^{-11}\rm{N}\cdot\rm{m}^2$是地球重力常數，$M_E = 5.98\times 10^{24}\rm{kg}$是地球的質量，$T=43080\rm{s}$是軌道週期，$m$是衛星的質量，$r$是軌道半徑。帶入上式化簡之後，可得到軌道半徑為：

$$GM_ET^2 = 4\pi^2r^3\Rightarrow r=2.66\times 10^7 \rm{m}$$

2. 第二步驟是計算衛星的速率。由第一步驟得到的軌道半徑，以及軌道週期，可以得到衛星的運動速率$v$，如下：

$$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi(2.66\times 10^{-7})\rm{m}}{43080\rm{s}} = 3.87\times 10^3 \rm{m/s}$$

3. 第三步驟是計算由於衛星的移動所造成之時間膨脹因子 (狹義相對論)。每一個GPS衛星上都會承載一個振盪器(其基礎振盪頻率為10.23 MHz，其他訊號的頻率都是這個頻率乘上或者除以一個整數)，用以產生GPS訊號的載波頻率。民用的頻率為1575.42 MHz ( = 10.23 MHz $\times$ 154)，或者更精確一點來說，在衛星的參考座標上，訊號的傳送頻率為1575.42 MHz。當地面的使用者接收到衛星訊號時，由於時間膨脹的影響，訊號的頻率會有些微的改變。時間膨脹因子通常以$\gamma$表示

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$

其中$c$為真空中的光速。為了簡化起見，這邊是令$c=3\times 10^8\rm{m}$。利用Lorentz Transformation，可得到發射頻率$f_{\rm source}$與觀測頻率$f_{\rm obs}$之間的關係，如下：

$$f_{\rm obs} = \frac{\sqrt{1-(v/c)^2}}{\sqrt{1+(v/c)^2}}f_{\rm source}$$

上面這個方程式的推倒，請讀者自行參閱Serway的書。由上面這個方程式，可得到因為時間膨脹造成的頻率變化為：

$$\Delta f_{\rm special} = (1-\gamma)f_{\rm source}$$

為了之後運算方便起見，通常是以fractional change，也就是以百分比的方式表示：

$$\frac{\Delta f_{\rm special}}{f_{\rm source}} = 1-\gamma \approx -8.34\times 10^{-11}$$

4. 第四步驟是計算廣義相對論的影響。由於廣義相對論所造成頻率之fractional change，可以表示如下：

$$\frac{\Delta f_{\rm general}}{f_{\rm source}} = \frac{\Delta U_g}{mc^2}$$

其中，$U_g=-\frac{GM_Em}{r}$為重力位能，$\Delta U_g/m$表示發射端與接收端之間，單位質量的位能變化。這個方程式的推導，同樣請讀者參閱Serway的書。由於衛星距離地表的高度，相較於地球的半徑$\rho = 6.37\times 10^{6}$而言，要大得多，因此$\Delta U_g$的計算可以近似為：

$$\Delta U_g = -\frac{GM_Em}{r} + \frac{GM_Em}{\rho}$$

帶入適當的數值之後可得$\Delta U_g = 4.76\times 10^{7}\rm{J/kg}m$。因此，由於重力所造成頻率之fractional change為：

$$\frac{\Delta f_{\rm general}}{f_{\rm source}} = \frac{\Delta U_g}{mc^2} = +5.29\times 10^{-10}$$

最後，將第三、第四步驟得到之值合起來，即爲全部之fractional change:

$$-8.34\times 10^{-11} + 5.29\times 10^{-10} = +4.46\times 10^{-10}$$

衛星上面所承載的振盪器基礎頻率是10.23 MHz，由於相對論的影響，官方會將頻率調低大約$10.23\times 10^6\times 4.46\times 10^{-10}\approx 0.00456\rm{Hz}$。

下面這個連結：

GPS, Relativity, and Nuclear Detection

是一個Youtube的影片，提到當初設計GPS的科學家不太相信相對論會有多大的影響，因此沒有將頻率調整，結果不到一天GPS定位誤差就大到不能使用。

Exercises

線性代數

1. 對任意的$n\times n$矩陣，皆可以找到$n$個特徵值。(True or False)

2. 求下列$\mathbb{R}^3$空間基底之對偶基底(dual basis)：(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (b) {(1, -2, 3), (1, -1, 1), (2, -4, 7)}.

3. 令$\phi$表示$\mathbf{R}^2$的線性泛函(linear functional)，定義為$\phi(x, y) = x - 2y$。若$T$為下列在$\mathbf{R}^2$上的線性映射，試求$(T^t(\phi))(x, y)$，其中$T^t$表示transpose map(有些書寫為$T^*$)：(a)$T(x, y) = (x, 0)$, (b)$T(x, y) = (y, x+y)$, (c) $T(x, y) = (2x-3y, 5x+2y)$。

4. 令$W$為$\mathbb{R}^4$的子空間，$W=span\{(1, 2, -3, 4), (1, 3, -2, 6), (1, 4, -1, 8)\}$。求$W$的零化集(annihilator)之一組基底。

5. 若$\mathbf{A}$為實對稱正定矩陣，試證明$\mathbf{A}=\mathbf{P}^t\mathbf{P}$，其中$\mathbf{P}$是一個非奇異矩陣。

6. 求$\mathbf{A}$的奇異值分解，其中
$$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}  1 & 2 &3 \\  4 & -2 & -1 \end{array}\right]$$

7. $\mathbf{A}$是一個regular Markov matrix (每一列加起來皆等於1)
$$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}  0.4 & 0.2 & 0.2 \\  0.1 & 0.7 & 0.2 \\  0.5 & 0.1 &0.6 \end{array}\right]$$
求 (a) $\lim_{k\rightarrow\infty}\mathbf{A}^k$ = ? (b) 求$\mathbf{A}$的穩定機率向量(亦即求$\mathbf{p}$，使得$\mathbf{Ap}=\mathbf{p}$)。(思考：這樣的矩陣在通訊上有何用途？什麼條件下穩定機率向量才存在？有什麼用處？)