電子學考試解答

Wednesday, October 18, 2017

內積空間

定義:設$(\mathbb{V}, \mathbb{F})$是一個向量空間,$\mathbb{V}$上的內積 (inner product) 是一個函數,記做$\bracket{\cdot}{\cdot}: \mathbb{V}\times\mathbb{V}\rightarrow \mathbb{F}$,且對所有的$\ket{\alpha}, \ket{\beta}, \ket{\gamma}\in\mathbb{V}$,滿足

  1. $\bracket{\alpha +\beta}{\gamma} = \bracket{\alpha}{\gamma} + \bracket{\beta}{\gamma}.$
  2. $\bracket{a\alpha}{\beta} = a\bracket{\alpha}{\beta}.$
  3. $\bracket{\alpha}{\beta} = \bracket{\beta}{\alpha}^*.$ (其中,'*'表示共軛複數。)
  4. 若$\ket{\alpha}\ne\ket{0}$,則$\bracket{\alpha}{\alpha} > 0$。
一個具有內積函數的向量空間,稱為內積空間 (inner product space)。

定義:考慮一個內積空間$\mathbb{V}$,若$\bracket{\alpha}{\beta}=0$,則稱此二向量為正交 (orthogonal)。

定義:假設$\mathbb{V}$是一個內積空間,定義$\Vert\alpha\Vert = \sqrt{\bracket{\alpha}{\alpha}}$為$\ket{\alpha}$的長度或範數 (norm),範數為1的向量稱為單位向量 (unit vector)。

定義:一組基底中,若所有向量的長度皆為1,且兩兩正交,則稱該基底為單範正交基底 (orthonormal basis)。

考慮一個向量空間$\mathbb{V}$,假設$\mathcal{B} = \{\ket{1}, \ket{2}, ..., \ket{n}\}$是$\mathbb{V}$的一組基底,則任意的向量$\ket{\alpha}$, $\ket{\beta}$可以表示為:
\[\ket{\alpha} = \sum_i a_i\ket{i} \]
\[\ket{\beta} = \sum_j b_j\ket{j} \]
由內積的性質可知:
\[ \bracket{\alpha}{\beta} = \sum_i\sum_j a_i^* b_j\bracket{i}{j} \]
若欲進一步推導,則需要知道如何計算$\bracket{i}{j}$。一般而言$\ket{i}$, $\ket{j}$不一定正交,但依據Gram-Schmidt定理,我們一定可以由$\mathcal{B}$造出一組正交基底。

定理:(Gram-Schmidt Orthogonalization Process) 給定一組線性獨立的向量,則必定可以經過適當的線性組合,得到一組單範正交的集合。

我們將在稍後證明上述定理 (應該會吧!),現在先將其視位正確的,則不失一般性,我們可以假設前述的基底是單範正交基底,亦即
\[\bracket{i}{j} = \delta_{ij} = \left\{\begin{array}{l} 1,\,\,\,\, i=j \\ 0,\,\,\,\, i\ne j\end{array}\right. \]
其中$\delta_{ij}$稱為Kronecker Delta。將此結果代入前一個方程式,可得
\[ \bracket{\alpha}{\beta} = \sum_i a_i^*b_j \]
本文前面曾經提到,當選定基底$\mathcal{B}$時,$\ket{\alpha}$的座標向量可以唯一決定,亦即在此基底之下,$\ket{\alpha}$可以等效地以行向量 (column vector) 來表示:
\[\ket{\alpha}\rightarrow \left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right]  \]
同理,$\ket{\beta}$可以表示為:
\[\ket{\beta}\rightarrow \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right]  \]
如此一來,內積$\bracket{\alpha}{\beta}$可以等效地寫為$\ket{\alpha}$的行座標向量之共軛轉置與$\ket{\beta}$之行座標向量的矩陣乘積,亦即
\[\bracket{\alpha}{\beta} = [a_1^*,\, a_2^*,\ldots, a_n^*]\left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right] \]
上述的過程可以視為是將抽象的ket-vector,"具體化"成一個$\mathbb{R}^n$空間中的行向量。這個過程也可以反轉過來,想成是將一個行向量,"抽象化"變成一個ket-vector。同樣的道理,我們也可以將每一個列向量 (row vector),例如上面的$[a_1^*,\, a_2^*,\ldots, a_n^*]$,抽象化成一個"物件",Paul Dirac稱這個"物件"為bra-vector (出現了!),並記做$\bra{\alpha}$。也可以等效地想成是將ket-vector $\ket{\alpha}$取其共軛轉置之後,得到bra-vector $\bra{\alpha}$。所以實際上我們有兩個空間,一個是由ket-vector組成,也就是原本的向量空間$\mathbb{V}$,另一個空間是由bra-vector所組成,稱為對偶空間 (dual space),內積實際上是bras與kets之間的數學運算。可以找到一組向量$\ket{i}$形成kets空間的基底,同樣也可以找到另一組向量$\bra{i}$,形成bras空間的基底。







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