Exercises

線性代數

1. 對任意的$n\times n$矩陣，皆可以找到$n$個特徵值。(True or False)

2. 求下列$\mathbb{R}^3$空間基底之對偶基底(dual basis)：(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (b) {(1, -2, 3), (1, -1, 1), (2, -4, 7)}.

3. 令$\phi$表示$\mathbf{R}^2$的線性泛函(linear functional)，定義為$\phi(x, y) = x - 2y$。若$T$為下列在$\mathbf{R}^2$上的線性映射，試求$(T^t(\phi))(x, y)$，其中$T^t$表示transpose map(有些書寫為$T^*$)：(a)$T(x, y) = (x, 0)$, (b)$T(x, y) = (y, x+y)$, (c) $T(x, y) = (2x-3y, 5x+2y)$。

4. 令$W$為$\mathbb{R}^4$的子空間，$W=span\{(1, 2, -3, 4), (1, 3, -2, 6), (1, 4, -1, 8)\}$。求$W$的零化集(annihilator)之一組基底。

5. 若$\mathbf{A}$為實對稱正定矩陣，試證明$\mathbf{A}=\mathbf{P}^t\mathbf{P}$，其中$\mathbf{P}$是一個非奇異矩陣。

6. 求$\mathbf{A}$的奇異值分解，其中
\[
\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}
 1 & 2 &3 \\
 4 & -2 & -1
\end{array}\right]
\]

7. $\mathbf{A}$是一個regular Markov matrix (每一列加起來皆等於1)
\[
\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}
 0.4 & 0.2 & 0.2 \\
 0.1 & 0.7 & 0.2 \\
 0.5 & 0.1 &0.6
\end{array}\right]
\]
求 (a) $\lim_{k\rightarrow\infty}\mathbf{A}^k$ = ? (b) 求$\mathbf{A}$的穩定機率向量(亦即求$\mathbf{p}$，使得$\mathbf{Ap}=\mathbf{p}$)。(思考：這樣的矩陣在通訊上有何用途？什麼條件下穩定機率向量才存在？有什麼用處？)