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電子學考試解答

Monday, October 09, 2017

機率公設

定義:S為樣本空間 (sample space),\mathcal{E}為所有可能事件的集合類,P是定義在\mathcal{E}上的一個實數函數,若P滿足下列公設 (axiom),則稱P為機率函數 (probability function),並稱P(A)為事件A\in\mathcal{E}的機率:
[A1] 對任意的事件A, 0\le P(A)\le 1
[A2] P(S)=1
[A3] 若A_1, A_2, A_3,...是一個序列的互斥事件 (亦即A_i\cap A_j =\emptyset , \forall i\ne j),則
P(A_1\cup A_2\cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_2) +\cdots


定理:\emptyset為空集合,則P(\emptyset)=0
證明:令A為任意的集合,則A與空集合為互斥事件,A\cup\emptyset = A。由[A3]可知
P(A) = P(A\cup\emptyset) = P(A) + P(\emptyset)

兩邊同減P(A),可得:P(\emptyset) = 0

定理:A^c為事件A的補集 (亦即A\cup A^c = S,且A\cap A^c = \emptyset),則P(A^c)=1-P(A)
證明:依據補集的定義,S可以拆解成兩個互斥的事件AA^c,亦即A\cup A^c = S。由公設[A2], [A3]可得
1 = P(S) = P(A\cup A^c) = P(A)+P(A^c)

移項之後可得:P(A^c) = 1- P(A)

定理:A\subset B,則P(A)\le P(B)
證明:若A\subset B,則B可拆解成兩個互斥的事件,事件A以及事件B\cap A^c (通常以B\setminus A表示B\cap A^c)。則
P(B) = P(A)+P(B\setminus A)

依據[A1],P(B\setminus A)\ge 0,因此由上式可知:P(B)\ge P(A)





定理:AB為任意兩個事件,則
P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B)

證明A可以拆解成兩個互斥的事件,A\setminus B以及A\cap B,亦即
A = (A\setminus B)\cup (A\cap B)

因此,由[A3]可得
P(A) = P(A\setminus B) + P(A\cap B)




定理:假設AB為任意兩個事件,則
P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

證明A\cup B可以拆解成兩個互斥的事件:A\setminus B以及B,則依據[A3]可知
\begin{array}{rcl} P(A\cup B) & = & P(A\setminus B) + P(B) \\        & = & P(A) - P(A\cap B) + P(B) \\        & = & P(A) + P(B) - P(A\cap B) \end{array}












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