內積空間

定義：設$(\mathbb{V}, \mathbb{F})$是一個向量空間，$\mathbb{V}$上的內積 (inner product) 是一個函數，記做$\bracket{\cdot}{\cdot}: \mathbb{V}\times\mathbb{V}\rightarrow \mathbb{F}$，且對所有的$\ket{\alpha}, \ket{\beta}, \ket{\gamma}\in\mathbb{V}$，滿足

1. $\bracket{\alpha +\beta}{\gamma} = \bracket{\alpha}{\gamma} + \bracket{\beta}{\gamma}.$
2. $\bracket{a\alpha}{\beta} = a\bracket{\alpha}{\beta}.$
3. $\bracket{\alpha}{\beta} = \bracket{\beta}{\alpha}^*.$ (其中，'*'表示共軛複數。)
4. 若$\ket{\alpha}\ne\ket{0}$，則$\bracket{\alpha}{\alpha} > 0$。

一個具有內積函數的向量空間，稱為內積空間 (inner product space)。

定義：考慮一個內積空間$\mathbb{V}$，若$\bracket{\alpha}{\beta}=0$，則稱此二向量為正交 (orthogonal)。

定義：假設$\mathbb{V}$是一個內積空間，定義$\Vert\alpha\Vert = \sqrt{\bracket{\alpha}{\alpha}}$為$\ket{\alpha}$的長度或範數 (norm)，範數為1的向量稱為單位向量 (unit vector)。

定義：一組基底中，若所有向量的長度皆為1，且兩兩正交，則稱該基底為單範正交基底 (orthonormal basis)。

考慮一個向量空間$\mathbb{V}$，假設$\mathcal{B} = \{\ket{1}, \ket{2}, ..., \ket{n}\}$是$\mathbb{V}$的一組基底，則任意的向量$\ket{\alpha}$, $\ket{\beta}$可以表示為：
\[\ket{\alpha} = \sum_i a_i\ket{i} \]
\[\ket{\beta} = \sum_j b_j\ket{j} \]
由內積的性質可知：
\[ \bracket{\alpha}{\beta} = \sum_i\sum_j a_i^* b_j\bracket{i}{j} \]
若欲進一步推導，則需要知道如何計算$\bracket{i}{j}$。一般而言$\ket{i}$, $\ket{j}$不一定正交，但依據Gram-Schmidt定理，我們一定可以由$\mathcal{B}$造出一組正交基底。

定理：(Gram-Schmidt Orthogonalization Process) 給定一組線性獨立的向量，則必定可以經過適當的線性組合，得到一組單範正交的集合。

我們將在稍後證明上述定理 (應該會吧！)，現在先將其視位正確的，則不失一般性，我們可以假設前述的基底是單範正交基底，亦即
\[\bracket{i}{j} = \delta_{ij} = \left\{\begin{array}{l} 1,\,\,\,\, i=j \\ 0,\,\,\,\, i\ne j\end{array}\right. \]
其中$\delta_{ij}$稱為Kronecker Delta。將此結果代入前一個方程式，可得
\[ \bracket{\alpha}{\beta} = \sum_i a_i^*b_j \]
本文前面曾經提到，當選定基底$\mathcal{B}$時，$\ket{\alpha}$的座標向量可以唯一決定，亦即在此基底之下，$\ket{\alpha}$可以等效地以行向量 (column vector) 來表示：
\[\ket{\alpha}\rightarrow \left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right]  \]
同理，$\ket{\beta}$可以表示為：
\[\ket{\beta}\rightarrow \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right]  \]
如此一來，內積$\bracket{\alpha}{\beta}$可以等效地寫為$\ket{\alpha}$的行座標向量之共軛轉置與$\ket{\beta}$之行座標向量的矩陣乘積，亦即
\[\bracket{\alpha}{\beta} = [a_1^*,\, a_2^*,\ldots, a_n^*]\left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right] \]
上述的過程可以視為是將抽象的ket-vector，"具體化"成一個$\mathbb{R}^n$空間中的行向量。這個過程也可以反轉過來，想成是將一個行向量，"抽象化"變成一個ket-vector。同樣的道理，我們也可以將每一個列向量 (row vector)，例如上面的$[a_1^*,\, a_2^*,\ldots, a_n^*]$，抽象化成一個"物件"，Paul Dirac稱這個"物件"為bra-vector (出現了！)，並記做$\bra{\alpha}$。也可以等效地想成是將ket-vector $\ket{\alpha}$取其共軛轉置之後，得到bra-vector $\bra{\alpha}$。所以實際上我們有兩個空間，一個是由ket-vector組成，也就是原本的向量空間$\mathbb{V}$，另一個空間是由bra-vector所組成，稱為對偶空間 (dual space)，內積實際上是bras與kets之間的數學運算。可以找到一組向量$\ket{i}$形成kets空間的基底，同樣也可以找到另一組向量$\bra{i}$，形成bras空間的基底。

向量空間

向量空間

定義：向量空間係由兩個集合組成，其中一個集合是由向量 (vectors) $\mathbb{V} = \{\ket{\alpha}, \ket{\beta}, \ket{\gamma},... \}$ 組成，另一個集合是由純量 (scalars) $\mathbb{F} = \{a, b, c, ... \}$ (在量子力學中，通常是複數) 構成。以及兩個二元運算，分別稱為向量加法 (vector addition) 以及純量乘法 (scalar multiplication)，這兩個集合在這兩種運算之下，具備封閉性，且必須滿足下列性質：

向量加法

1. 任意兩個向量相加，得到另一個向量 ：

\[ \ket{\alpha} + \ket{\beta} = \ket{\gamma} \]

2. 向量加法具備交換性 (commutative)：

\[ \ket{\alpha} + \ket{\beta} = \ket{\beta} + \ket{\alpha} \]

3. 向量加法具備結合性 (associative)：

\[\ket{\alpha} + (\ket{\beta} + \ket{\gamma}) = (\ket{\alpha} + \ket{\beta}) + \ket{\gamma} \] 

4. 存在一個向量$\ket{0}$，稱為零向量 (zero or null vector)，滿足下列性質： 

\[ \ket{\alpha} + \ket{0} = \ket{\alpha}, \,\,\,\,\forall\ket{\alpha}\in\mathbb{V} \] 

5. 對$\mathbb{V}$中的每一個向量$\ket{\alpha}$，皆存在一個對應的加法反元數 $\ket{-\alpha}$，使得

\[ \ket{\alpha} + \ket{-\alpha} = \ket{0} \] 

純量乘法

 6. 純量與向量相乘之後，得到另一個向量：

\[ a\ket{\alpha} = \ket{\gamma} \]

7.  純量乘法相對於向量加法，具備分配性 (distributive)：

\[a(\ket{\alpha} + \ket{\beta}) = a\ket{\alpha} + a\ket{\beta} \]

8. 純量加法對純量乘法具備分配性：

\[ (a+b)\ket{\alpha} = a\ket{\alpha}+b\ket{\alpha} \]

9. 一般的乘法與純量乘法具備結合性：

\[ a(b\ket{\alpha}) = (ab)\ket{\alpha} \]

10. 在$\mathbb{F}$中存在一個元素$1$，使得

\[ 1\ket{\alpha} = \ket{\alpha} \]

稱為乘法的單位元素。 

上述這種向量符號，是Paul Dirac發明的，通常也稱為ket  vector，之後會用到另一種向量$\bra{\alpha}$，稱為bra vector (不是那個bra，只是拼法剛好一樣)。需要注意的是，在這種表示方法中，$\alpha$只是一個符號，不是一個數值。舉例來說，$\ket{1}$這個表示方法中，$1$並不是代表數值，他只是一個符號，這個向量的值不一定是$1$。

線性組合、線性相依與線性獨立

定義：假設有一組向量$S=\{\ket{\alpha}, \ket{\beta}, \ket{\gamma}, ... \}$，以及一組純量$\{a, b, c, ... \}$，則
\[ a\ket{\alpha} + b\ket{\beta} +c\ket{\gamma} + \cdots \]
稱為S的一種線性組合 (linear combination)。

定義：若找得到一組不全為零的係數$\{a, b, c, ... \}$，使得
\[ a\ket{\alpha} + b\ket{\beta} +c\ket{\gamma} + \cdots = \ket{0} \]
則稱$S$為線性相依 (linearly dependent)，反之則稱為線性獨立 (linearly independent)。

線性獨立有另一種等效的說法，亦即：若$a\ket{\alpha} + b\ket{\beta} +c\ket{\gamma} + \cdots = \ket{0} $，則此式成立的唯一解是係數全為零的解，$a=b=c=\cdots = 0$。

定義：若向量空間$\mathbb{V}$中的每一個向量，皆可以寫成$S$的線性組合，則稱$S$生成$\mathbb{V}$，記作span$(S)$=$\mathbb{V}$。若該集合$S$又同時為線性獨立集，則$S$為向量空間的一個基底 (basis)，基底這個集合中的向量個數，稱為$\mathbb{V}$的維度 (dimension)，記作dim$\mathbb{V}$。

假設$\mathbb{V}$的維度為$n$，選擇一組適當的基底$\mathcal{B} = \{\ket{e_1}, \ket{e_2},..., \ket{e_n}\}$，則空間中的任一個向量$\ket{\alpha}$可以唯一地表示為
\[\ket{\alpha} = a_1\ket{e_1} + a_2\ket{e_2} + \cdots + a_n\ket{e_n} \]
其中
\[ (a_1, a_2,..., a_n) = \left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right] \]
稱為$\ket{\alpha}$相對於基底$\mathcal{B}$之座標向量 (coordinate vector)，當$\mathcal{B}$選定時，座標向量是唯一的。

Problem：試證明座標向量為唯一。
證明：假設
\[\ket{\alpha} = a_1\ket{e_1} + a_2\ket{e_2} + \cdots + a_n\ket{e_n},\]
且
\[\ket{\alpha} = b_1\ket{e_1} + b_2\ket{e_2} + \cdots + b_n\ket{e_n}.\]
兩式相減可得：
\[\ket{0} = (a_1-b_1)\ket{e_1} + (a_2 - b_2)\ket{e_2} + \cdots + (a_n - b_n)\ket{e_n} \]
若其中某一項係數不為零，例如$a_j \ne b_j$，可將上式同除以$a_j - b_j$並移項之後可得：
\[\ket{e_j} = -\frac{(a_1 - b_1)}{(a_j - b_j)}\ket{e_1} - \frac{(a_2 - b_2)}{(a_j - b_j)}\ket{e_2} - \cdots - \frac{(a_n - b_n)}{(a_j - b_j)}\ket{e_n} \]
此式意味$\ket{e_j}$可以表示為其他$(n-1)$個向量的線性組合，所以$\mathcal{B}$不為基底，此與問題假設矛盾，因此可知所有分量必須相等$a_1 = b_1$, $a_2 = b_3$,..., $a_n = b_n$，亦即座標向量是唯一的。

薛丁格方程式

一個粒子在空間中的"狀態"，滿足薛丁格方程式 (Schrodinger Equation)：
\[ i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V\Psi \]
是一個波動方程式 (Wave Equation)，其中$i = \sqrt{-1}$是複數符號，$\Psi = \Psi (x, t)$是一個波函數，代表粒子在時間$t$時，"可能"出現的位置$x$；$\hbar = 1.054572\times 10^{-34}$ J-s 為普朗克常數 (Planck's Constant)；$V$是位能函數 (Potential Energy Function)。$\Psi (x, t)$代表的並非是粒子的動態，而是粒子在空間中某一個位置出現的機率，這種解釋方式是由Max Born提出來的，他的解釋是一個粒子在時間$t$時，出現在位置$x$的機率密度函數為$|\Psi (x, t)|^2$，也就是說，依據統計學的觀點
\[\int^b_a\left|\Psi (x, t)\right|^2 dx = \mbox{時間為t，在位置a與b之間發現粒子的機率} \]

如上圖所示，a與b之間的面積是機率，且由圖中可以得知，在A點發現粒子的機率，比在B點發現的機率高。可是由古典力學的觀點來看，在某一個時刻，粒子所在的位置應該是確定的，所以上述的波函數要如何解釋能？量子力學的解釋是都有可能，有點像是說粒子可能同時出現在所有滿足波函數的位置上，這就是後來大家可能聽過的薛丁格的貓的故事：在打開微波爐之前，貓可能是死可能是活，也可能兩個狀況同時存在。

現在假設我來實際觀測 (或者說是測量) 這個粒子的位置 (微波爐被打開了)，會發生甚麼事呢？實際上是我應該會在某一個位置發現粒子，例如在$C$發現，接著我再馬上重複一次測量 (馬上關上微波爐的門，然後再次打開)，此時粒子的位置會是在哪裡呢？量子學家都同意，應該還是會在$C$點上。這樣一來就衍伸出一個新的問題了，這時候機率的說法不就不成立了嗎？或者說，這時候的波函數是甚麼？物理學家Paul Dirac發明了一個新的函數，解決了這個問題。當我第一次測量的時候，粒子的狀態就會塌縮成如下圖的樣子，會是一個在$C$點上一個非常狹長的"脈波"，它的面積是1，所以幾乎可以確定會在$C$上再次發現粒子。這個函數就是我們在工數課本中提到的Delta Function (更明確的說是Dirac Delta Function)，通常記做$\delta (x)$，他也是一個"波函數"。

機率公設

定義：令$S$為樣本空間 (sample space)，$\mathcal{E}$為所有可能事件的集合類，$P$是定義在$\mathcal{E}$上的一個實數函數，若$P$滿足下列公設 (axiom)，則稱$P$為機率函數 (probability function)，並稱$P(A)$為事件$A\in\mathcal{E}$的機率：
[A1] 對任意的事件$A$, $0\le P(A)\le 1$。
[A2] $P(S)=1$。
[A3] 若$A_1, A_2, A_3,...$是一個序列的互斥事件 (亦即$A_i\cap A_j =\emptyset$ , $\forall i\ne j$)，則
\[ P(A_1\cup A_2\cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_2) +\cdots \]

定理：若$\emptyset$為空集合，則$P(\emptyset)=0$。
證明：令$A$為任意的集合，則$A$與空集合為互斥事件，$A\cup\emptyset = A$。由[A3]可知
\[ P(A) = P(A\cup\emptyset) = P(A) + P(\emptyset) \]
兩邊同減$P(A)$，可得：$P(\emptyset) = 0$。

定理：若$A^c$為事件$A$的補集 (亦即$A\cup A^c = S$，且$A\cap A^c = \emptyset$)，則$P(A^c)=1-P(A)$。
證明：依據補集的定義，$S$可以拆解成兩個互斥的事件$A$與$A^c$，亦即$A\cup A^c = S$。由公設[A2], [A3]可得
\[ 1 = P(S) = P(A\cup A^c) = P(A)+P(A^c) \]
移項之後可得：$P(A^c) = 1- P(A)$。

定理：若$A\subset B$，則$P(A)\le P(B)$。
證明：若$A\subset B$，則$B$可拆解成兩個互斥的事件，事件$A$以及事件$B\cap A^c$ (通常以$B\setminus A$表示$B\cap A^c$)。則
\[ P(B) = P(A)+P(B\setminus A) \]
依據[A1]，$P(B\setminus A)\ge 0$，因此由上式可知：$P(B)\ge P(A)$。

定理：若$A$與$B$為任意兩個事件，則
\[ P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B) \]
證明：$A$可以拆解成兩個互斥的事件，$A\setminus B$以及$A\cap B$，亦即
\[ A = (A\setminus B)\cup (A\cap B) \]
因此，由[A3]可得
\[ P(A) = P(A\setminus B) + P(A\cap B) \]

定理：假設$A$與$B$為任意兩個事件，則
\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \]
證明：$A\cup B$可以拆解成兩個互斥的事件：$A\setminus B$以及$B$，則依據[A3]可知
\[ \begin{array}{rcl}
P(A\cup B) & = & P(A\setminus B) + P(B) \\
       & = & P(A) - P(A\cap B) + P(B) \\
       & = & P(A) + P(B) - P(A\cap B) \end{array} \]