有限場 - 代數基礎, Part 1

1. 群 (Groups)

令$S$代表一個集合，並令$S\times S$表示所有序對(ordered pairs)：{$(s, t)$: $s\in S, t\in S$}，所形成的集合。則將$S\times S$的元素，映射至$S$的運算，稱為二元運算 (binary operation)。在此定義之下，$(s, t)$經二元運算之後的像 (image)，必須落在$S$裏面，此為二元運算的封閉性 (closure property)。一個集合$S$，以及一個 (或多個) 二元運算合起來，即構成一種代數結構 (algebraic structure)，或者稱為代數系統 (algebraic systems)。在基本的算術中，加法以及乘法是最常見的兩種二元運算。加法以及乘法最重要的特性是具備結合性 (associativity)，在具備結合性的代數結構中，最常被研究並且發展最完整的，是數學上稱為群 (Group) 的代數系統。

Definition. 給定一個集合$G$，以及一個二元運算$\ast$。假設$\ast$滿足下列性質：
1. $\ast$具備結合性，亦即對於任意的$a, b, c\in G$，皆滿足$a\ast (b\ast c) = (a\ast b)\ast c$。

2. 在$G$中存在一個元素$e$，使得對任意的$a\in G$，滿足$a\ast e = e\ast a = a$；$e$稱為單位 (identity) 元素。

3. 對任意的$a\in G$，皆可在$G$中找到一個元素，表示為$a^{-1}$，滿足$a\ast a^{-1} = a^{-1}\ast a$；$a^{-1}$稱為反 (inverse) 元素。

則稱$(G, \ast)$ (或者簡寫為 $G$) 為群。進一步地，若$\ast$又滿足下列性質：

4. 對任意的$a, b\in G$，皆滿足$a\ast b = b\ast a$，

則稱$G$為交換群 (abelian or commutative group)。

不難證明，單位元素$e$以及給定$a$之後的反元素$a^{-1}$都具有唯一性。基本的算術四則運算，不難證明加法與乘法也滿足群的性質。在上述定義中，$\ast$不一定單指乘法，但若確實是乘法，通常$a\ast b$會簡寫為$ab$。