Quaternion Algebra

這篇文章想來介紹一個比較特殊的東西，稱為四元數代數(Quaternion Algebra)。在先前的一篇文章中(http://bossborot.blogspot.tw/2013/08/blog-post.html)，曾經介紹過代數系統的概念，簡單的說就是一個具備"環"結構的向量空間(亦即兩個向量的"乘法"是有意義的)，可以稱為代數。由向量空間的定義，不難發現，向量加法的反元素必定存在，因此在一個代數中，可以討論兩個向量之間的加法、減法以及乘法。但是"環"結構並未要求乘法的反元素必須存在，因此在一般的代數系統中，不一定可以定義一個"合法"的除法運算。若在代數系統中，可以定義合法的除法運算(或者說向量乘法的反元素存在)，則稱此代數系統為"可除代數"(Division Algebra)。數學家告訴我們，這個世界上僅存在三個具備結合性(associative，亦即$(\mathbf{ab})\mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{bc})$，$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$為向量 )的可除代數，其中兩個大家應該都很熟悉，就是所有實數的集合$\mathbb{R}$，以及所有複數的集合$\mathbb{C}$，第三個就是這裡要介紹的四元數代數。

實數$\mathbb{R}$是一個體(field，因此也具備環結構)，也可以視為一個一維的向量空間，因此若定義向量加法與乘法分別為一般的實數加法與乘法，則$\mathbb{R}$是一個代數。又因為$\mathbb{R}$是一個體，所以所有非零元素的乘法反元素皆存在，因此$\mathbb{R}$是一個可除代數。同樣的道理，各位讀者應該不難理解$\mathbb{C}$也是一個可除代數，這裡的向量加法和乘法就是一般複數的的加法與乘法。更進一步地，有修過線性代數的同學，應該可以理解，$\mathbb{C}$是一個佈於$\mathbb{R}$上的二維向量空間，他的一組基底為$\{1, \mathtt{i} \}$，其中$\mathtt{i}$是複數符號，滿足$\mathtt{i}^2= -1$。從這個概念繼續延伸，如果要找三維空間的可除代數(數學家已經告訴我們，三維空間不存在可除代數，這邊先當做不知道這回事)，很自然的我們應該會想用三個符號$\{1, \mathtt{i}, \mathtt{j}\}$，$\mathtt{j}$是一個新的符號，我們需要決定$\mathtt{j}$的性質，並且定義適當的乘法運算，使得\[S=\{a+b\mathtt{i}+c\mathtt{j}|a, b, c\in\mathbb{R}\}\]變成一個可除代數。對這個問題，最早發現僅用$\{1, \mathtt{i}, \mathtt{j}\}$無法得到可除代數，並且提出四元數概念的是William R. Hamilton(謎之音：「你是說曾經和Jordan一起在巫師隊打球的...」「那是Richard Hamilton」「那是曾經拿過打擊王的...」「那是Josh Hamilton」「賣手錶的....」「那是James Hamilton」「喔，所以是開車的那個...」「他叫Lewis Hamilton」)。既然Hamilton都這麼說了，我們就先不看三維的向量空間，直接來看四維的吧。

考慮如下列形式的數值：\[a+b\mathtt{i}+c\mathtt{j}+d\mathtt{k}, \,\,\, a, b, c, d\in\mathbb{R}, \]其中$\mathtt{i}, \mathtt{j}, \mathtt{k}$是三個選定的符號，這邊其實可以把它視為三維空間的三個單位向量也無妨。上述這種形式的數值，稱為四元數，可以想成是複數的延伸，在數學上也稱為超複數(Hypercomplex Number)。對任意的四元素$\mathbf{q} = a+b\mathtt{i}+c\mathtt{j}+d\mathtt{k}$, $\mathbf{q}_1 = a_1+b_1\mathtt{i}+c_1\mathtt{j}+d_1\mathtt{k}$, $\mathbf{q}_2 = a_2+b_2\mathtt{i}+c_2\mathtt{j}+d_2\mathtt{k}$，若定義向量加法為\[\mathbf{q}_1+\mathbf{q}_2 = (a_1+b_1\mathtt{i}+c_1\mathtt{j}+d_1\mathtt{k}) +(a_1+b_1\mathtt{i}+c_1\mathtt{j}+d_2\mathtt{k}) \\
=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\mathtt{i}+(c_1+c_2)\mathtt{j}+(d_1+d_2)\mathtt{k}), \]
以及純量乘法為：\[\alpha\mathbf{q} =\alpha a+\alpha b\mathtt{i}+\alpha c\mathtt{j}+\alpha d\mathtt{k}, \,\,\,\, \forall\alpha\in\mathbb{R},\]則不難證明，所有四元數所形成的集合，以$\mathbb{H}$表示，是一個四維的向量空間，且$\{1, \mathtt{i}, \mathtt{j}, \mathtt{k}\}$是$\mathbb{H}$的一組基底。更進一步地，若再定義$\mathtt{i}, \mathtt{j}, \mathtt{k}$的乘法滿足下列關係：\[\mathtt{i}^2=-1, \mathtt{j}^2=-1, \mathtt{k}^2=-1, \\
\mathtt{ij}=\mathtt{k},\mathtt{ji}=-\mathtt{k}, \\
\mathtt{jk}=\mathtt{i},\mathtt{kj}=-\mathtt{i}, \\
\mathtt{ki}=\mathtt{j},\mathtt{ik}=-\mathtt{j}. \]
利用上述規則，可以計算任意兩個四元數$\mathbf{q}_1 = a_1+b_1\mathtt{i}+c_1\mathtt{j}+d_1\mathtt{k}$, $\mathbf{q}_2 = a_2+b_2\mathtt{i}+c_2\mathtt{j}+d_2\mathtt{k}$，相乘所得到的結果為：\[\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 = (a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2) + (a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2)\mathtt{i} \\
 + (a_1c_2 + c_1a_2 + d_1b_2 - b_1d_2)\mathtt{j} + (a_1d_2 + d_1a_2 +b_1c_2 - c_1b_2)\mathtt{k}. \]不難驗證，上述的乘法滿足結合性，以及乘法對加法的分配性。因此，依據我們在"線性代數是甚麼？"這篇文章提到的定義，$\mathbb{H}$事實上是一個代數，也就是所謂的四元數代數(Quaternion Algebra)，在力學以及導航系統系統中，有許多重要的應用。