GPS似乎是目前唯一需要考慮相對論效應的商用系統 (或者至少是第一個)。依據狹義相對論(Special Theory of Relativity)，移動中的物體，時間會變慢，而依據廣義相對論 (General Theory of Relativity)，在高處的物體(重力較小)，時間會變快。GPS衛星的移動速度大約每秒4公里(時間變慢)，距離地表約兩萬多公里(時間變快)，兩者的效應並不會完全抵消。相對論效應對GPS的影響，在下列這篇文章中有詳細的推導與說明。
N. Asby and J. J. Spilker Jr., "Introduction to Relativistic Effects on the Global Positioning System," Chapter 13 in Global Positioning System: Theory and Applications Vol. 1, AIAA, 1996.
這篇文章介紹得十分詳細，但是相對的也比較難讀。後來發現在Serway寫的近代物理：
R. A. Serway, C. J. Moses, and C. A. Moyer, Modern Physics, 3rd Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.
這本書中也提到這個問題，而且講得比較淺顯易懂。我想利用這篇文章介紹一下Serway的方法，大致上分為四個步驟。
1. 假設GPS衛星運動是一個正圓形軌道，繞行地球一周的週期是11小時58分，依據牛頓運動定律以及萬有引力定律可知：
\[\sum F = ma\Rightarrow \frac{GM_E m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = \frac{m}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 \]
其中，$G=6.67\times 10^{-11}\rm{N}\cdot\rm{m}^2$是地球重力常數，$M_E = 5.98\times 10^{24}\rm{kg}$是地球的質量，$T=43080\rm{s}$是軌道週期，$m$是衛星的質量，$r$是軌道半徑。帶入上式化簡之後，可得到軌道半徑為：
\[ GM_ET^2 = 4\pi^2r^3\Rightarrow r=2.66\times 10^7 \rm{m} \]
2. 第二步驟是計算衛星的速率。由第一步驟得到的軌道半徑，以及軌道週期，可以得到衛星的運動速率$v$，如下：
\[ v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi(2.66\times 10^{-7})\rm{m}}{43080\rm{s}} = 3.87\times 10^3 \rm{m/s} \]
3. 第三步驟是計算由於衛星的移動所造成之時間膨脹因子 (狹義相對論)。每一個GPS衛星上都會承載一個振盪器(其基礎振盪頻率為10.23 MHz，其他訊號的頻率都是這個頻率乘上或者除以一個整數)，用以產生GPS訊號的載波頻率。民用的頻率為1575.42 MHz ( = 10.23 MHz $\times$ 154)，或者更精確一點來說，在衛星的參考座標上，訊號的傳送頻率為1575.42 MHz。當地面的使用者接收到衛星訊號時，由於時間膨脹的影響，訊號的頻率會有些微的改變。時間膨脹因子通常以$\gamma$表示
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \]
其中$c$為真空中的光速。為了簡化起見，這邊是令$c=3\times 10^8\rm{m}$。利用Lorentz Transformation，可得到發射頻率$f_{\rm source}$與觀測頻率$f_{\rm obs}$之間的關係，如下：
\[ f_{\rm obs} = \frac{\sqrt{1-(v/c)^2}}{\sqrt{1+(v/c)^2}}f_{\rm source} \]
上面這個方程式的推倒，請讀者自行參閱Serway的書。由上面這個方程式，可得到因為時間膨脹造成的頻率變化為：
\[ \Delta f_{\rm special} = (1-\gamma)f_{\rm source} \]
為了之後運算方便起見，通常是以fractional change，也就是以百分比的方式表示：
\[ \frac{\Delta f_{\rm special}}{f_{\rm source}} = 1-\gamma \approx -8.34\times 10^{-11} \]
4. 第四步驟是計算廣義相對論的影響。由於廣義相對論所造成頻率之fractional change，可以表示如下：
\[\frac{\Delta f_{\rm general}}{f_{\rm source}} = \frac{\Delta U_g}{mc^2} \]
其中，$U_g=-\frac{GM_Em}{r}$為重力位能，$\Delta U_g/m$表示發射端與接收端之間，單位質量的位能變化。這個方程式的推導，同樣請讀者參閱Serway的書。由於衛星距離地表的高度，相較於地球的半徑$\rho = 6.37\times 10^{6}$而言，要大得多，因此$\Delta U_g$的計算可以近似為：
\[\Delta U_g = -\frac{GM_Em}{r} + \frac{GM_Em}{\rho} \]
帶入適當的數值之後可得$\Delta U_g = 4.76\times 10^{7}\rm{J/kg}m$。因此，由於重力所造成頻率之fractional change為：
\[ \frac{\Delta f_{\rm general}}{f_{\rm source}} = \frac{\Delta U_g}{mc^2} = +5.29\times 10^{-10} \]
最後，將第三、第四步驟得到之值合起來，即爲全部之fractional change:
\[ -8.34\times 10^{-11} + 5.29\times 10^{-10} = +4.46\times 10^{-10} \]
衛星上面所承載的振盪器基礎頻率是10.23 MHz，由於相對論的影響，官方會將頻率調低大約$10.23\times 10^6\times 4.46\times 10^{-10}\approx 0.00456\rm{Hz}$。
下面這個連結：
GPS, Relativity, and Nuclear Detection
是一個Youtube的影片，提到當初設計GPS的科學家不太相信相對論會有多大的影響，因此沒有將頻率調整，結果不到一天GPS定位誤差就大到不能使用。
Sunday, July 26, 2015
Sunday, January 25, 2015
Exercises
線性代數
1. 對任意的$n\times n$矩陣，皆可以找到$n$個特徵值。(True or False)
2. 求下列$\mathbb{R}^3$空間基底之對偶基底(dual basis)：(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (b) {(1, -2, 3), (1, -1, 1), (2, -4, 7)}.
3. 令$\phi$表示$\mathbf{R}^2$的線性泛函(linear functional)，定義為$\phi(x, y) = x - 2y$。若$T$為下列在$\mathbf{R}^2$上的線性映射，試求$(T^t(\phi))(x, y)$，其中$T^t$表示transpose map(有些書寫為$T^*$)：(a)$T(x, y) = (x, 0)$, (b)$T(x, y) = (y, x+y)$, (c) $T(x, y) = (2x-3y, 5x+2y)$。
4. 令$W$為$\mathbb{R}^4$的子空間，$W=span\{(1, 2, -3, 4), (1, 3, -2, 6), (1, 4, -1, 8)\}$。求$W$的零化集(annihilator)之一組基底。
5. 若$\mathbf{A}$為實對稱正定矩陣，試證明$\mathbf{A}=\mathbf{P}^t\mathbf{P}$，其中$\mathbf{P}$是一個非奇異矩陣。
6. 求$\mathbf{A}$的奇異值分解，其中
\[
\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 &3 \\
4 & -2 & -1
\end{array}\right]
\]
7. $\mathbf{A}$是一個regular Markov matrix (每一列加起來皆等於1)
\[
\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}
0.4 & 0.2 & 0.2 \\
0.1 & 0.7 & 0.2 \\
0.5 & 0.1 &0.6
\end{array}\right]
\]
求 (a) $\lim_{k\rightarrow\infty}\mathbf{A}^k$ = ? (b) 求$\mathbf{A}$的穩定機率向量(亦即求$\mathbf{p}$，使得$\mathbf{Ap}=\mathbf{p}$)。(思考：這樣的矩陣在通訊上有何用途？什麼條件下穩定機率向量才存在？有什麼用處？)
1. 對任意的$n\times n$矩陣，皆可以找到$n$個特徵值。(True or False)
2. 求下列$\mathbb{R}^3$空間基底之對偶基底(dual basis)：(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (b) {(1, -2, 3), (1, -1, 1), (2, -4, 7)}.
3. 令$\phi$表示$\mathbf{R}^2$的線性泛函(linear functional)，定義為$\phi(x, y) = x - 2y$。若$T$為下列在$\mathbf{R}^2$上的線性映射，試求$(T^t(\phi))(x, y)$，其中$T^t$表示transpose map(有些書寫為$T^*$)：(a)$T(x, y) = (x, 0)$, (b)$T(x, y) = (y, x+y)$, (c) $T(x, y) = (2x-3y, 5x+2y)$。
4. 令$W$為$\mathbb{R}^4$的子空間，$W=span\{(1, 2, -3, 4), (1, 3, -2, 6), (1, 4, -1, 8)\}$。求$W$的零化集(annihilator)之一組基底。
5. 若$\mathbf{A}$為實對稱正定矩陣，試證明$\mathbf{A}=\mathbf{P}^t\mathbf{P}$，其中$\mathbf{P}$是一個非奇異矩陣。
6. 求$\mathbf{A}$的奇異值分解，其中
\[
\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 &3 \\
4 & -2 & -1
\end{array}\right]
\]
7. $\mathbf{A}$是一個regular Markov matrix (每一列加起來皆等於1)
\[
\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr}
0.4 & 0.2 & 0.2 \\
0.1 & 0.7 & 0.2 \\
0.5 & 0.1 &0.6
\end{array}\right]
\]
求 (a) $\lim_{k\rightarrow\infty}\mathbf{A}^k$ = ? (b) 求$\mathbf{A}$的穩定機率向量(亦即求$\mathbf{p}$，使得$\mathbf{Ap}=\mathbf{p}$)。(思考：這樣的矩陣在通訊上有何用途？什麼條件下穩定機率向量才存在？有什麼用處？)
Saturday, January 17, 2015
矩陣函數
假設$\mathbf{A}$是一個$3\times 3$矩陣(為了方便說明，以$3\times 3$為例，實際上任意的方陣皆可)，$f(x)=a_0 + a_1x+\cdots+a_nx^n$是一個$n$階多項式。則矩陣函數$f(\mathbf{A}$定義為：
\[
f(\mathbf{A}) = a_0\mathbf{I} + a_1\mathbf{A}+\cdots+a_n\mathbf{A}^n
\]
簡而言之，就是將$x$以矩陣$\mathbf{A}$代換，注意此時常數項變成$a_0\mathbf{I}$，$\mathbf{I}$是單位矩陣。一般而言，直接將$\mathbf{A}$帶入計算，不是一個很好的方法，如果$\mathbf{A}$矩陣可以對角化，可以利用下述方法處理。若$\mathbf{A}$可對角化，則存在可逆矩陣$\mathbf{Q}$，使得$\mathbf{A}=\mathbf{QD}\mathbf{Q}^{-1}$，其中$\mathbf{D}$為對角矩陣
\[
\mathbf{D}=\left[\begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{array}\right]
\]
$\lambda_1$、$\lambda_2$以及$\lambda_3$為$\mathbf{A}$的特徵值。將$\mathbf{A}$帶入$f(x)$之中，不難發現
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}f(\mathbf{D})\mathbf{Q}^{-1}. \hspace{2cm} (1)
\]
而由於$\mathbf{D}$為對角矩陣，經過計算可以發現
\[
f(\mathbf{D}) = \left[\begin{array}{ccc} f(\lambda_1) & 0 & 0 \\ 0 & f(\lambda_2) & 0 \\ 0 & 0 & f(\lambda_3) \end{array}\right].
\]
將上式帶回(1)式中，即可求得$f(\mathbf{A})$，計算已經大幅簡化。
若$f(x)$不為多項式，上述的方法不一定適用，而且除了幾個特殊的函數以外，通常不會成立。其中的一個特殊函數，而且在電機通訊領域常用的函數，也就是指數函數$f(x)=e^x$，也可以用上述的步驟來計算，而且在大學的線性代數，幾乎大概可能說不定或許絕對應該是多半或許考試一定會考。$e^x$在原點附近的泰勒展開式可以寫為
\[
e^x = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\]
可以想成是一個無窮多階的多項式。令$f(x)=e^x$帶入(1)式之後可得
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}f(\mathbf{D})\mathbf{Q}^{-1}
= \mathbf{Q}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\mathbf{D}^n}{n!}\mathbf{Q}^{-1}
\]
同樣地，因為$\mathbf{D}$是對角矩陣，上式變成
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}\left[\begin{array}{ccc} e^{\lambda_1} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\lambda_3} \end{array}\right]\mathbf{Q}^{-1}.
\]
\[
f(\mathbf{A}) = a_0\mathbf{I} + a_1\mathbf{A}+\cdots+a_n\mathbf{A}^n
\]
簡而言之，就是將$x$以矩陣$\mathbf{A}$代換，注意此時常數項變成$a_0\mathbf{I}$，$\mathbf{I}$是單位矩陣。一般而言，直接將$\mathbf{A}$帶入計算，不是一個很好的方法，如果$\mathbf{A}$矩陣可以對角化，可以利用下述方法處理。若$\mathbf{A}$可對角化，則存在可逆矩陣$\mathbf{Q}$，使得$\mathbf{A}=\mathbf{QD}\mathbf{Q}^{-1}$，其中$\mathbf{D}$為對角矩陣
\[
\mathbf{D}=\left[\begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{array}\right]
\]
$\lambda_1$、$\lambda_2$以及$\lambda_3$為$\mathbf{A}$的特徵值。將$\mathbf{A}$帶入$f(x)$之中，不難發現
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}f(\mathbf{D})\mathbf{Q}^{-1}. \hspace{2cm} (1)
\]
而由於$\mathbf{D}$為對角矩陣，經過計算可以發現
\[
f(\mathbf{D}) = \left[\begin{array}{ccc} f(\lambda_1) & 0 & 0 \\ 0 & f(\lambda_2) & 0 \\ 0 & 0 & f(\lambda_3) \end{array}\right].
\]
將上式帶回(1)式中，即可求得$f(\mathbf{A})$，計算已經大幅簡化。
若$f(x)$不為多項式，上述的方法不一定適用，而且除了幾個特殊的函數以外，通常不會成立。其中的一個特殊函數，而且在電機通訊領域常用的函數，也就是指數函數$f(x)=e^x$，也可以用上述的步驟來計算，而且在大學的線性代數，幾乎大概可能說不定或許絕對應該是多半或許考試一定會考。$e^x$在原點附近的泰勒展開式可以寫為
\[
e^x = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\]
可以想成是一個無窮多階的多項式。令$f(x)=e^x$帶入(1)式之後可得
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}f(\mathbf{D})\mathbf{Q}^{-1}
= \mathbf{Q}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\mathbf{D}^n}{n!}\mathbf{Q}^{-1}
\]
同樣地，因為$\mathbf{D}$是對角矩陣，上式變成
\[
f(\mathbf{A}) = \mathbf{Q}\left[\begin{array}{ccc} e^{\lambda_1} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\lambda_3} \end{array}\right]\mathbf{Q}^{-1}.
\]
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