線性代數是什麼？

線性代數和微積分應該可以說是一切數學的基礎，而由於數學在理工科系中佔有舉足輕重的地位，因此線性代數與微積分也成了多數理工科系的基礎課程。大多數同學大概都知道微積分在討論的是什麼，可是線性代數咧，線性代數到底是什麼？除了它的英文發音聽起來很像是在罵人之外。

我們其實從小學就開始在學"代數"，例如整數、實數以及多項式等的四則運算，這些都屬於代數的範疇。從比較不專業的角度來看，只要是與數字的四則運算有關的數學，都可以説是"代數"。另一方面，有學過線性代數的同學應該知道，在線性代數中，一個重要的概念就是向量空間。這些東西湊在一起，可以説線性代數討論的就是向量空間裏面，向量的四則運算。這樣的定義還是有點籠統，或許可以從"稍微"數學一點的角度來定義"線性代數"。

數學上，通常將想要討論的對象收集起來，形成一個集合(Set)，再搭配適當定義的二元運算(Binary Operation)，即構成一個代數系統，可以說是一個具備特殊結構的集合。代數系統中，二元運算是一個重要的工具，我們先來看看如何定義二元運算。

定義1：假設$S$是一個非空集合，$S$上的一個二元運算 $\ast : S\times S\rightarrow S$ 是一個函數，其定義域為$S\times S$，值域為$S$，且$\ast$滿足：
\[ a\ast b\in S, \,\,\,\,\, \forall a, b \in S\]
亦即二元運算具備封閉性。

從上述定義，不難發現其實我們小時候學的加法、乘法就是一種二元運算。一個集合，搭配一個合法的二元運算，就構成一個代數系統 (algebraic systems)，或者稱為代數結構 (algebraic structure)。

定義2：令$S$為一個非空集合，$\ast$是$S$上的一個二元運算，則稱$(S, \ast )$為一個代數系統或者代數結構。

若進一步地，該二元運算除了封閉性之外又滿足其他更多的性質，則賦予該代數結構不同的名稱。

定義3：令$S$為一個非空集合，$\ast$是$S$上的一個具有封閉性的二元運算。
(1) 若$\ast$具備結合性 (associative)，亦即
\[a\ast (b\ast c) = (a\ast b)\ast c, \,\,\,\, \forall a, b, c\in S\]
則稱$(S,\ast )$為半群 (semigroup)。

(2) 若$\ast$具備結合性以及單位元素性，亦即

• (結合性) $a\ast (b\ast c) = (a\ast b)\ast c,$ $\forall a, b, c\in S$。且，
• (單位元素性) 對所有的$a\in S$，存在一個元素$e\in S$，使得$a\ast e = e\ast a = a$。(此時稱$e$為$(S, \ast )$的單位元素。)

則稱$(S,\ast )$為單群 (monoid)。

(3) 若$\ast$具備結合性、單位元素性以及反元素性，亦即

• (結合性) $a\ast (b\ast c) = (a\ast b)\ast c,$ $\forall a, b, c\in S$。且，
• (單位元素性) 對所有的$a\in S$，存在一個元素$e\in S$，使得$a\ast e = e\ast a = a$。以及，
• (反元素性) 對任意的$a\in S$，存在$a'\in S$，使得$a\ast a' = a'\ast a = e$。(此時稱$S$具有反元素性，且稱$a'$為$a$的反元素。)

則稱$(S,\ast )$為群 (group)。

另一個重要的性質稱為交換性 (commutative)，定義如下。

定義4：集合$S$上的二元運算$\ast$，若對所有的$a, b\in S$，滿足$a\ast b = b\ast a$，則稱$\ast$具備交換性。

一般而言，半群、單群或者群不一定具備交換性。若確實具備交換性，則分別稱為交換半群，交換單群以及交換群。

群可以說是最基本的代數結構，由群可以再延伸出各種更複雜的代數結構。群僅與一個二元運算有關，接下來我們要介紹更複雜的代數系統，稱為環 (ring)，則是與兩個二元運算有關。這裡我們以$\ast$，以及$+$來表示這兩個二元運算，可以稱$\ast$為乘法運算，以及$+$為加法運算。

定義5：考慮一個非空集合$S$以及兩個二元運算$+$，以及$\ast$，分別稱為加法以及乘法運算。若$(S, +, \ast)$滿足：

1. $(S, +)$為交換群；
2. $(S, \ast)$為半群；
3. $\ast$ 對 $+$ 具備分配性 (distributive)，亦即對所有的$a, b, c\in S$，滿足$a\ast (b+c) = (a\ast b) + (a\ast c)$，且$(a+b)\ast c = (a\ast c)+(b\ast c)$。

則稱$(S, +, \ast )$為環。進一步地，若$\ast$也具備交換性，則稱為交換環。

由於$(S, +)$為交換群，因此具備加法單位元素以及反元素，加法單位元素記為$0$，對任意的$a\in S$，其加法反元素記作$-a$。接下來，介紹另一種結構，稱為體 (field)，我們會用到一個符號，記作$S\backslash \{ 0 \}$，表示$S$集合中，排除掉$0$這個元素。

定義6：考慮一個非空集合$S$以及兩個二元運算$+$，以及$\ast$，分別稱為加法以及乘法運算。若$(S, +, \ast)$滿足：

1. $(S, +)$為交換群；
2. $(S\backslash\{ 0\}, \ast)$為交換群，$0$為加法單位元素；
3. $\ast$ 對 $+$ 具備分配性 (distributive)，亦即對所有的$a, b, c\in S$，滿足$a\ast (b+c) = (a\ast b) + (a\ast c)$，且$(a+b)\ast c = (a\ast c)+(b\ast c)$。

則稱$(S, +, \ast )$為體。

若我們將$+$，$\ast$定義唯一般的加法與乘法，不難發現，$(\mathbb{R}, +, \ast )$以及$(\mathbb{C}, +, \ast )$都是體，這兩個也是在數學上最常用的體。(註：$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$分別代表所有實數以及所有複數所形成的集合。)

接下來，我們來看向量空間 (vector space)，這也是在線性代數中，最重要的一種代數結構。在向量空間中，我們討論的對象進一步變成兩個集合，以及兩個二元運算。

定義7：考慮兩個非空集合$\mathbb{F}$， $V$，以及兩個二元運算，$+: V\times V\rightarrow V$，$\bullet :\mathbb{F}\times V\rightarrow V$；其中，$\mathbb{F}$為一體，$\mathbb{F}$中的元素稱為純量 (scalar)，$V$中的元素稱為向量(vector)，$+$稱為向量加法 (vector addition)，$\bullet$稱為純量積 (scalar multiplication)。向量加法與純量積具備封閉性，亦即對任意的$\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$，存在唯一的向量$\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$，以及對任意的$\alpha\in\mathbb{F}$與任意的$\mathbf{v}\in V$，存在唯一的向量$\alpha\bullet\mathbf{v}$(通常亦簡記為$\alpha\mathbf{v}$) $\in
V$。若$(V, +, \bullet)$滿足下列八個性質，則稱$(V, +, \bullet)$為佈於$\mathbb{F}$上的一個向量空間 ($V$ is a vector space over $\mathbb{F}$)，或者也稱為線性空間。

1. 對所有的$\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$，恆有$\mathbf{u}+\mathbf{v} = \mathbf{v}+\mathbf{u}$。
2. 對任意的$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V$，恆有$(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$。
3. 存在一個向量$\mathbf{0}\in V$，使得對所有的$\mathbf{v}\in V$，恆有$\mathbf{v}+ \mathbf{0} = \mathbf{0}+\mathbf{v} = \mathbf{v}$。此時稱$\mathbf{0}$為$V$中的零向量。
4. 對任意的$\mathbf{v}\in V$，存在$\mathbf{x}\in V$，使得$\mathbf{v}+\mathbf{x} = \mathbf{x} + \mathbf{v} = \mathbf{0}$。此時稱$\mathbf{x}$為$\mathbf{v}$的加法反元素，記作$-\mathbf{v}$。
5. 對任意的$\alpha\in\mathbb{F}$，以及所有的$\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$，恆有$\alpha (\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v}$。
6. 對任意的$\alpha, \beta\in\mathbb{F}$，以及任意的$\mathbf{v}\in V$，恆有$(\alpha + \beta)\mathbf{v} = \alpha\mathbf{v} + \beta\mathbf{v}$。
7. 對任意的$\alpha, \beta\in\mathbb{F}$，以及任意的$\mathbf{v}\in V$，恆有$(\alpha\beta)\mathbf{v} = \alpha (\beta\mathbf{v})$。
8. 對每一個$\mathbf{v}\in V$，$1\bullet\mathbf{v} = 1\mathbf{v} = \mathbf{v}$，其中$1$為$\mathbb{F}$的乘法單位元素。

與前面的群結構比較之下，可以發現事實上$(V, +)$係一個滿足向量加法的交換群。這邊要特別注意，純量積與前面定義的環裡面的乘法運算不同。環裡面的乘法運算，兩個運算元都是取自同一個集合$S$，而向量空間裡面的純量積，運算元分別取自兩個不同的集合$\mathbb{F}$和$V$。這時候，或許讀者會發現一個問題：我是不是可以再定義一個向量乘法運算，使得$V$變成一個環呢？答案是肯定的，這時候$V$就變成一個"Algebra"也就是代數。換句話說，一個向量空間若同時又具備環的結構，就稱為一個代數。

定義8：假設$\mathbb{F}$為一體，$V$為非空集合，$+$以及$\ast$為$V$上的兩個二元運算，分別稱為向量加法以及向量乘法，$\bullet :\mathbb{F}\times V\rightarrow V$為純量積。若

1. $(V, +, \ast )$為環；
2. $(V, +, \bullet )$為佈於$\mathbb{F}$上的向量空間；
3. 對任意的$\alpha\in\mathbb{F}$，以及任意的$\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$，恆有$\alpha (\mathbf{u}\ast\mathbf{v})$ = $(\alpha\mathbf{u})\ast\mathbf{v}$ = $ \mathbf{u}\ast(\alpha\mathbf{v})$。

則稱$(V, +, \ast , \bullet )$為佈於$\mathbb{F}$上的線性代數，或者簡稱為代數。

瞭解代數系統的含義之後，我們來看幾個在線性代數的書中，常用到的algebra。

範例1：令$\mathbb{R}^{n\times n}$表示所有$n\times n$的實數矩陣所形成的集合，若定義$+$, $\ast$分別為矩陣的一般加法與乘法，且定義$\bullet$為矩陣與實數的純量積。則$(\mathbb{R}^{n\times n}, +, \ast, \bullet)$為一個線性代數。

範例2：令$\mathcal{L}(\mathbb{F}^n)$表示所有從$\mathbb{F}^n$映射至$\mathbb{F}^n$的線性映射所形成的集合。定義$+$, $\circ$兩個二元運算如下：
\[ (T+U)(\mathbf{v}) := T(\mathbf{v}) + U(\mathbf{v}), \,\,\, \forall T, U\in \mathcal{L}(\mathbb{F}^n), \forall \mathbf{v}\in\mathbb{F}^n, \\
(T\circ U)(\mathbf{v}) := T(U(\mathbf{v})), \,\,\, \forall T, U\in \mathcal{L}(\mathbb{F}^n), \forall \mathbf{v}\in\mathbb{F}^n.  \]
且定義純量積$\bullet$為：
\[ (\alpha\bullet T)(\mathbf{v}) := \alpha T(\mathbf{v}), \,\,\, \forall T \in \mathcal{L}, \forall \alpha\in\mathbb{F}. \]
則$(\mathcal{L}(\mathbb{F}^n), +, \circ , \bullet )$構成一個線性代數。

大學一年級的線性代數課程，討論的就是矩陣以及線性映射這兩個線性代數。(這句話的結構很像"新阿姆斯特朗旋風噴射阿姆斯特朗砲")


寫的不是很專業，請各位讀者多多批評指教。