GPS接收機原理上課講義 (I)

Lecture 01

Two-Port Networks

雙埠網路(Two-Port Network)在電子學中佔有重要的地位，大學的基礎電子學課程一直在重複的應用雙埠網路的理論。在電路中，電流可以從端點(terminal)流進或者流出，成對的端點即可構成一個埠(port)。電路中的三個基本元件：電阻、電感以及電容都是雙端點元件，可以形成一個單埠網路(one-port network)，大學的基礎電路學大部份的時間都是在研究單埠網路。電阻、電容以及電感這三個基本元件，稱為被動元件(passive elements)。

圖1. (a)單埠網路 (b)雙埠網路

在電子學中，除了雙端元件之外，還多了三端(例如電晶體)以及四端(例如運算放大器、MOS)元件。此時，電路的分析便需要利用雙埠網路。一般而言，一個複雜的電路(或者網路)可以有n個埠，但是在初學的階段，雙埠網路已經足夠。如圖1(b)所示，雙埠網路有兩組端點對(terminal pairs)，對網路的存取都是透過端點來進行，電流從成對端點的一頭流入，從另一頭流出(當然必須滿足電路的特性，亦即流進的電流必須等於流出的電流)。雙埠網路的目的實際上是希望簡化電路分析的過程，將複雜的網路化簡成一個線性電路，僅需要幾個參數即可描述電路的特性。另外，若要將雙埠網路加入至另一個更大更複雜的網路，此時可將雙埠網路視為一個"黑盒子"(black box)，對於外部更大的網路而言，不需要知道其內部實際電路為何，僅需要知道雙埠輸入輸出之電壓電流關係即可進行電路分析。

雙埠網路的另一個重要特性是"線性化"，也就是將一個複雜的電路，利用簡單的線性模型來表示。在圖1(b)中，$(V_1, I_1)$與$(V_2, I_2)$之間可能存在非常複雜的非線性關係(例如在半導體元件中，電流電壓的關係通常需要高度非線性的方程式來描述)，分析起來不容易。在一些合理的假設條件之下(學過電子學的同學應該知道，就是所謂的小信號條件，small-signal condition)，可以使用線性模型來描述$V_1,V_2,I_1,I_2$之間的關係。線性模型實際上就是一個線性映射(linear transformation)，從$V_1,V_2,I_1,I_2$之中選擇兩個量為自變數，另外兩個量為應變數，則描述這四個量之間數學關係的線性映射為一個$2\times 2$的矩陣，換句話說需要四個參數即可完整描述雙埠網路的線性模型。依據自變數與應變數選擇方式的不同，可得到四種雙埠網路參數，分別敘述如下。

圖2. 電壓源驅動雙埠網路

Impedance Parameters
考慮如圖2所示之雙埠網路，我們稱左邊的埠為Port 1(or input port)，右邊的埠為Port 2 (or output port)。在假設該電路為線性網路的情況下，埠1及埠2的端點電壓與電流之間的關係可以表示為：
\[\begin{array}{l}

{V_1} = {z_{11}}{I_1} + {z_{12}}{I_2}\\
{V_2} = {z_{21}}{I_1} + {z_{22}}{I_2}
\end{array}\hspace{2cm}\mbox{(1)}\]
或者以矩陣的符號可以表示為：

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_1}}\\
{{V_2}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_{11}}}&{{z_{12}}}\\
{{z_{21}}}&{{z_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_1}}\\
{{I_2}}
\end{array}} \right] = {\bf{Z}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_1}}\\
{{I_2}}
\end{array}} \right]\]
其中$\{z_{11},z_{12},z_{21},z_{22}\}$稱為雙埠網路的阻抗參數(impedance parameters)，或者稱為$z$參數。 那麼這些參數如何求得？從數學的角度來看，當然是利用偏微分：
\[{z_{11}} = \frac{{\partial {V_1}}}{{\partial {I_1}}},{z_{12}} = \frac{{\partial {V_1}}}{{\partial {I_2}}},{z_{21}} = \frac{{\partial {V_2}}}{{\partial {I_1}}},{z_{22}} = \frac{{\partial {V_2}}}{{\partial {I_2}}}.\]
可是，這樣的物理意義並不明顯。另一種方式則是分別令$I_1=0$(input port open-circuited)或者$I_2=0$(out port open-circuited)，則由(1)式可得
\[{z_{11}} = {\left. {\frac{{{V_1}}}{{{I_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}},{z_{12}} = {\left. {\frac{{{V_1}}}{{{I_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}},{z_{21}} = {\left. {\frac{{{V_2}}}{{{I_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}},{z_{22}} = {\left. {\frac{{{V_2}}}{{{I_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}}.\hspace{1cm} \mbox{(2)}\]
這樣的表示方式，應該可以明顯看出$z$參數的物理意義：由於電路中，電流為零代表開路，因此上式的意思係指我們只要適當的將port 1或者port 2開路，並且量測得到對應的電壓電流的關係即可求得$z$參數。

• $z_{11}$ = open-circuit input impedance
• $z_{12}$ = open-circuit transfer impedance from port 1 to port 2
• $z_{21}$ = open-circuit transfer impedance from port 2 to port 1
• $z_{22}$ = open-circuit output impedance

圖3. 決定$z$參數：(a)求$z_{11}$與$z_{21}$, (b)求$z_{21}$與$z_{22}$.

由於$z$參數係將輸出或者輸入開路所得到的，因此也稱為開路阻抗參數(open-circuit impedance parameters)。依據第(2)式，將電壓$V_1$接至port 1，且將port 2開路，並測得$I_1$以及$V_2$(例如利用電流計與電壓計)，如圖3(a)，則可求得$z_{11}$與$z_{21}$為
\[{z_{11}} = \frac{{{V_1}}}{{{I_1}}},{z_{21}} = \frac{{{V_2}}}{{{I_1}}}.\]
同理，欲求得$z_{21}$與$z_{22}$則將電壓$V_2$接至port 2，且將port 1開路，如圖3(b)，並測得$I_2$以及$V_1$，則
\[{z_{12}} = \frac{{{V_1}}}{{{I_2}}},{z_{22}} = \frac{{{V_2}}}{{{I_2}}}.\]

Admittance Parameters
第二種模型，係將兩端的電流，以兩端的電壓來表示，因此稱為導納參數(admittance parameters)。方程式如下：
\[\begin{array}{l}
{I_1} = {y_{11}}{V_1} + {y_{12}}{V_2}\\
{I_2} = {y_{21}}{V_1} + {y_{22}}{V_2}
\end{array}\hspace{2cm}\mbox{(3)}\]
或者以矩陣的符號可以表示為：

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_1}}\\
{{I_2}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_{11}}}&{{y_{12}}}\\
{{y_{21}}}&{{y_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_1}}\\
{{V_2}}
\end{array}} \right] = {\bf{Y}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_1}}\\
{{V_2}}
\end{array}} \right]\]
其中$\{y_{11},y_{12},y_{21},y_{22}\}$稱為雙埠網路的導納參數，或者稱為$y$參數。如同在計算$z$參數的方式，適當地令$V_1 = 0$或者$V_2 = 0$，可以求得這些參數，如下：

\[{y_{11}} = {\left. {\frac{{{I_1}}}{{{V_1}}}} \right|_{{V_2} = 0}},{y_{12}} = {\left. {\frac{{{I_1}}}{{{V_2}}}} \right|_{{V_1} = 0}},{y_{21}} = {\left. {\frac{{{I_2}}}{{{V_1}}}} \right|_{{V_2} = 0}},{y_{22}} = {\left. {\frac{{{I_2}}}{{{V_2}}}} \right|_{{V_1} = 0}}.\hspace{1cm} \mbox{(4)}\]

圖4. 決定$y$參數：(a)求$y_{11}$與$y_{21}$, (b)求$y_{21}$與$y_{22}$.

電路中，若令電壓為零，表示係將電路短路，因此$y$參數是將電路的輸出或者輸入短路所得到的，也稱為短路導納參數。

• $y_{11}$ = short-circuit input admittance
• $y_{12}$ = short-circuit transfer admittance from port 2 to port 1
• $y_{21}$ = short-circuit transfer admittance from port 1 to port 1
• $y_{22}$ = short-circuit output admittance

Hybrid Parameters
有些時候電路的$z$與$y$參數可能不存在，因此需要另一種參數的模型。第三種參數的模型，是令$V_1$以及$I_2$為相依變數，$I_1$以及$V_2$視為獨立變數，可得到下列方程式：
\[\begin{array}{l}
{V_1} = {h_{11}}{I_1} + {h_{12}}{V_2}\\
{I_2} = {h_{21}}{I_1} + {h_{22}}{V_2}
\end{array}\hspace{2cm}\mbox{(5)}\]
或者以矩陣的符號可以表示為：

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_1}}\\
{{I_2}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{h_{12}}}\\
{{h_{21}}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_1}}\\
{{V_2}}
\end{array}} \right] = {\bf{H}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_1}}\\
{{V_2}}
\end{array}} \right]\]

此種參數模型稱為混合參數(hybrid parameters)或者簡稱為$h$參數，經常用於描述電晶體等電子電路元件，理想的變壓器也可以利用$h$參數模型來描述。$h$參數的計算方式如下：

\[{h_{11}} = {\left. {\frac{{{V_1}}}{{{I_1}}}} \right|_{{V_2} = 0}},{h_{12}} = {\left. {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}},{h_{21}} = {\left. {\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}}} \right|_{{V_2} = 0}},{h_{22}} = {\left. {\frac{{{I_2}}}{{{V_2}}}} \right|_{{I_1} = 0}}.\hspace{1cm} \mbox{(6)}\]

圖5. 雙埠網路的$h$參數模型

四個$h$參數的名稱定義如下：

• $h_{11}$ = short-circuit input impedance
• $h_{12}$ = open-circuit reverse voltage gain
• $h_{21}$ = short-circuit forward current gain
• $h_{22}$ = open-circuit output admittance

Inverse Hybrid Parameters
另一組與$h$參數類似的模型，稱為$g$參數，或者反向混合參數 (inverse hybrid parameters)，係將$V_2$以及$I_1$當作相依變數，$V_1$以及$I_2$視為獨立變數，方程式如下：
\[\begin{array}{l}
{I_1} = {g_{11}}{V_1} + {g_{12}}{I_2}\\
{V_2} = {g_{21}}{V_1} + {g_{22}}{I_2}
\end{array}\hspace{2cm}\mbox{(7)}\]
或者以矩陣的符號可以表示為：

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_1}}\\
{{V_2}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{g_{11}}}&{{g_{12}}}\\
{{g_{21}}}&{{g_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_1}}\\
{{I_2}}
\end{array}} \right] = {\bf{G}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_1}}\\
{{I_2}}
\end{array}} \right]\]

圖6. 雙埠網路的$g$參數模型

$g$參數的計算方式如下：

\[{g_{11}} = {\left. {\frac{{{I_1}}}{{{V_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}},{g_{12}} = {\left. {\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right|_{{V_1} = 0}},{g_{21}} = {\left. {\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}} \right|_{{I_2} = 0}},{g_{22}} = {\left. {\frac{{{V_2}}}{{{I_2}}}} \right|_{{V_1} = 0}}.\hspace{1cm} \mbox{(8)}\]

四個$h$參數的名稱定義如下：

• $g_{11}$ = open-circuit input admittance
• $g_{12}$ = short-circuit reverse current gain
• $g_{21}$ = open-circuit forward voltage gain
• $g_{22}$ = short-circuit output impedance

其他還有很多種不同的參數模型，例如在高頻微波電路中經常使用的$S$參數模型，就等以後有空再說吧，先這樣。

參考資料：C. K. Alexander and M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, Third Edition.

第7章 GPS載波相位觀測量定位

在第四章中，我們曾經分析電碼相位以及載波相位定位的精確度，在不考慮接收機雜訊以及多路徑效應影響的情況下，電碼相位的定位精確度大多處於公尺等級，而載波相位的定位精確度可達0.01至0.05個週期 (大約2 mm至1 cm)，因此公分等級的精確定位，需要利用載波相位觀測量。載波相位觀測量大多係採用相對定位 (relative positioning) 的方式，其基本概念是將在兩個不同觀測點上的，同一時間的觀測量相減 (亦即差分, difference)，以消去兩者之間的共同誤差，再重新定義問題的參數，以使用這些差分過後的量測量估測這兩個點之間的相對位置向量。GPS系統原本的設計是使用電碼相位觀測量進行定位，GPS系統的設計者並未預期可以提供公分等級的定位精確度，最早展示GPS確實具備精密定位能力，係在1970年代末期，由Counselman以及他在MIT的同事，在論文[1][2]中提出。近代GPS載波相位一次差分以及二次差分的概念，最早都是由Counselman提出。

第7.1節 載波相位與整數未定值

考慮如圖7‑1所示之兩台GPS接收機架構，其天線位置分別以A與B表示，這兩架接收機皆追蹤來自同一顆衛星的載波相位，我們的目的係要精確地量測兩個天線之間的距離d，其中我們假設角度θ₀為已知。依據波動理論，來自衛星的平面波波前 (plane wav front) 代表固定的載波相位，從圖中可以看出來，假設在t₀時某一波前首先到達天線B，則再經過數個整數週期以及一個分數週期 (fractional cycle) 之後，該波前到達天線A，假設該分數週期為Δ₀，由此可知在這兩個天線之間的載波相位觀測量的差必為一特定個數的整數週期加上該分數週期Δ₀。由於正弦波週期信號本身的特性，一開始我們無法判定整數周期的個數，僅能得知該分數周期Δ₀的大小。若以φ_A與φ_B分別表示天線A以及天線B的載波相位，則這兩個天線之間的相位差可以表示為：

\[{\phi _{AB}}({t_0}) = {\phi _A}({t_0}) - \phi ({t_0})=
{\Delta _0} + N\]
其中$N$為未知整數，一般稱為整數週波未定值(integer cycle ambiguity)。若可以決定$N$之值，則由圖7-1(a)中的幾何關係，可以精確地求得$d$之值，如下

(7.1-1)          $d\cos {\theta _0} = \lambda ({\Delta _0} + N).$

若兩個地面接收機的相對位置保持固定，且接收的衛星也固定，則觀測到的載波相位差(Δ₀) 也會維持固定，在此情況下將無從判定N之值。若在一段時間之後，衛星的位置明顯改變，衛星與接收機之間的幾何結構也改變，此時接收機之間的載波相位差也會改變，如圖7‑1(b)所示，此時可利用兩個不同時間所量測到之載波相位差，求解整數週波未定值。假設兩台接收機接連續地追蹤同一顆衛星的載波相位，在時間t₁時，衛星的仰角從θ₀變化至θ₁，兩台接受機所觀測到之相位差也從Δ₀變成Δ₁，若兩台接收機追蹤衛星之信號未曾間斷，則整數週波未定值也不會改變。由於兩台接收機的位置並未改變，因此

(7.1-2)          $d\cos {\theta _1} = \lambda ({\Delta _1} + N).$

將方程式(7.1‑1)與(7.1‑2)重新整理如下

(7.1-3)          $\begin{array}{l} d'\cos {\theta _0} - N = {\Delta _0},\\ d'\sin {\theta _1} - N = {\Delta _1}, \end{array}$

其中d’ = d/λ。注意在上式中單位為周 (cycle)。(7.1‑3)式為二元一次方程組，未知變數為d’與N，其解可以表示為

(7.1-4)          $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{d'}\\
N
\end{array}} \right] = \frac{1}{{(\cos {\theta _1} - \cos {\theta _0})}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
{ - \cos {\theta _1}}&{\cos {\theta _0}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\Delta _0}}\\
{{\Delta _1}}
\end{array}} \right].$

從上式中不難看出，當θ₀與θ₁很接近時，方程組(7.1‑3)的解，會變成所謂的變態解 (ill-conditioned)，亦即Δ₀與Δ₁產生的微小誤差，會造成方程式解(d’, N)極大的誤差。因此，利用(7.1‑4)式求解整數週波未定值，t₀與t₁的時間間隔必須夠大，以確保θ₀與θ₁差異夠大，此時即可利用(7.1‑4)求解整數週波未定值N以及接收機之間的相對距離d’。這種接收機與衛星之間幾何結構的改變，文獻上稱為幾何多樣性(geometric diversity)。

上述方法雖然在理論上可行，但是為了確保衛星與接收機之間的幾何多樣性，通常需要等待一段時間(大約30分鐘以上)，這在實用上有些時候不是非常方便，因此在1985年時，學者Remondi提出一種可以快速改變衛星-接收機幾何的方法，稱為天線互換 (antenna swap)[4]。假設A與B兩點之間的距離足夠近，在量測到初始相位差Δ₀之後，我們可以將A與B兩個天線位置互換 (注意此時A與B兩台接收機必須持續追蹤同一顆衛星的信號)，若互換時間很短，我們可以假設衛星位置並沒有明顯的改變，則因為天線互換，衛星信號到達天線B的路徑長度會增加d’cosθ₀，反之到達天線A的路徑長度會減少d’cosθ₀。假設在天線交換之後所量測到之相位差為，則交換前後的相位變化與d’cosθ₀之關係可以寫為

\[{\Delta '_0} - {\Delta _0} =  - 2d'\cos {\theta _0}.\]

直接求解可得

\[d' = \frac{{({{\Delta '}_0} - {\Delta _0})}}{{2\cos {\theta _0}}}.\]

代入(7.1‑1)式中，即可求得整數週波未定值為

\[N = d'\cos {\theta _0} - {\Delta _0} =  - \left( {\frac{{{{\Delta '}_0} + {\Delta _0}}}{2}} \right).\]

只要衛星持續追蹤該顆衛星的信號，整數週波未定值也不會改變，換句話說N之值僅需求解一次，一旦求得該衛星的整數未定值，接收機即可自由移動。但是，若接收機並未連續追蹤該顆衛星信號，例如發生週波跳動 (cycle slip) 的現象，則必須重新求解整數週波未定值。

第7.2節 載波相位觀測量與精密定位

在第四章中我們曾介紹GPS的載波相位觀測量，為了方便起見，將載波相位方程式重複如下：

(7.2-1)          $\phi  = {\lambda ^{ - 1}}(r - I + T) + f \cdot (\delta {t_u} - \delta {t^s}) + N + {\varepsilon _\phi },$  (單位為周, cycles)

其中，λ與f分別為載波的波長與頻率，r為衛星與接收機之間的幾何距離，I與T分別為電離層超前 (ionospheric advance) 以及對流層延遲 (tropospheric delay)，衛星以及接收機時鐘偏差分別以δt^s以及δt_u表示，N代表整數週波未定值，表示載波相位量測量的模型誤差。載波相位觀測量與電碼相位觀測輛主要差別有兩點：首先，電碼相位觀測量基本上並沒有整數未定值的問題，而載波相位觀測量因為具有整數未定值，必須先解出未定值之後 (或者消去未定值)，才有辦法利用載波相位來進行定位；其次，載波相位觀測量的量測可以非常精準，而電碼相位觀測量的量測則較為粗糙。舉例而言，市面上一些較高階的GPS接收機，若不考慮其他誤差的影響，載波相位量測誤差的標準差大約可以精確至$\sigma ({\varepsilon _\phi }) \cong 0.025{\rm{ cycle}}$(5毫米)，而電碼相位觀測量誤差的標準差大約為$\sigma ({\varepsilon _\phi }) \cong$0.5 m。

GPS載波相位觀測量大多是採用相對定位 (relative positioning) 的方式，利用在兩個不同地點的GPS相位觀測量，計算兩地之間的相對位置向量 (relative position vector)，在測量學上稱此相對位置向量為基線向量 (baseline vector)，或者簡稱為基線。利用GPS進行精密的相對定位，需要在兩個不同點上同時接收載波相位觀測量，天線在參考位置 (座標為已知) 上的接收機稱為參考接收機 (reference receiver) 或者參考站，而第二架接收機天線位置係在待測的點上，稱為移動接收機 (mobile receiver or rover) 或者移動站。利用載波相位相對定位需要一個所謂”初始化” (initialization) 的過程，亦即求解整數週波未定值，若是在初始化以及定位的過程中，移動站以及參考站皆為靜止狀態，稱為靜態測量 (static survey)。事實上，在相對定位過程中，一旦求得整數未定值，移動站即可自由移動，因此靜態測量實際上僅要求在初始化的過程中移動站是靜止的。而在初始化的過程中，若移動站可以自由移動則稱為動態測量 (kinematic survey)。早期 (1980年代)，動態初始化的方法尚未發現，靜態GPS測量通常需要接收機處於靜止的狀態，接收大約一小時左右的載波相位觀測量之後，等待衛星幾何分佈有明顯的改變，以求解整數未定值。在1993年，學者Talbot最早提出動態初始化的方法[5]，可以動態地進行相對定位，使得大地測量更有效率，此種方法稱為即時動態定位 (real-time kinematic positioning，簡寫為RTK)，在RTK模式下，參考站透過適當的數據鏈，將載波相位觀測量即時地傳送至移動站。RTK技術的關鍵是移動站必須有能力可以在運動的狀況下，估測整數未定值，此種方式稱為On-The-Fly (OTF) Initialization。

(待續)

References:

1. C.C. Counselman III, I.I. Shapiro, R.L. Greenspan, and D.B. Cox, Jr., “Backpack VLBI Terminal with Subcentimeter Capability,” Proc. Radio Interferometric Techniques for Geodesy, NASA Conference Publication, Vol. 2115, pp. 409-413, 1979.
2. C.C. Counselman III and Sergei Gourevitch, “Miniature Interferometer Terminals for Earth Surveying: Ambiguity and Multipath with Global Positioning System,” IEEE Transactions on Geosciences and Remote Sensing, Vol. GE-19, No. 4, pp. 244-252, 1981.
3. Patrick Y.C. Hwang, “Kinematic GPS for Differential Positioning: Resolving Integer Ambiguities on the Fly,” Navigaiton, Vol. 28, No. 1, pp. 1-15, 1991.
4. Benjamin W. Remondi, “Centimeter-Level Surveys in Seconds with GPS Carrier Phase: Initial Results,” Navigaiton, Vol. 32, No. 4, pp. 386-400.
5. Nicholas Talbot, “Centimeters in the Field, A User’s Perspective of Real-Time Kinematic Positioning in a Production Environment,” Proc. ION GPS-93, pp. 1049-1057, 1993.

第3章 GPS座標與時間系統 (II)

第3.2節 全球座標系統
3.2 全球座標系統
座標系統的定義，在導航系統中佔有重要的角色，座標系統就其涵蓋範圍來區分，應可大致分為本地座標系統 (Local-Level Coordinate System) 以及全球座標系統 (Global Coordinate Systems)，在日常生活中，一般大眾並不太需要用到所謂的全球座標系統 (例如我與朋友相約，我不會跟他說我們約在東經121度52分，北緯24度31分的地方見面)。但是，作為一個全球通用的導航系統，GPS系統必須定義一個全世界任何地方均可適用的座標系統，也就是全球座標系統。全球座標系統必須可以用來描述地球上任意一點的三度空間座標，在GPS導航系統中，常用的全球座標系有兩種：地心固連 (或者稱為地心地固Earth-Centered, Earth-Fixed; ECEF) 座標系統以及地球慣性 (Earth-Centered, Inertial; ECI) 座標系統。全球座標系統是一種卡氏座標系統，由我們在上一節中的討論可知，定義一個卡氏座標系統最主要的元素包括原點以及三個互相垂直的座標軸。所以，我們在定義地心固連座標系統以及地球慣性座標系統時，實際上就是在指定其原點所在位置，以及三個座標軸的指向。

3.2.1 地球座標系統與慣性座標系統
在定義地球座標系統時，經常會用到所謂參考子午線以及參考橢球的概念，因此我們先將其定義整理如下：

定義3.1 (參考橢球) 給定一平面上之橢圓，其半長軸a為地球平均半長軸而且與x軸平行，半短軸b為地球平均半短軸而且與z軸平行，若將此橢圓延地球自轉軸旋轉180o，所形成之球體即稱為大地參考橢球 (Reference Ellipsoid) 或者簡稱為參考橢球 (見圖3.6)。參考橢球之球心位於地球的地理中心，其與xz平面相切之切面稱為參考子午線(Reference Meridian)，與xy平面相切之切面稱之為平均赤道面 (Mean Equator) 或者簡稱為赤道面。

在上面的定義中，除了z軸定義為地球的自轉軸之外，x軸與y軸尚未定義，事實上，根據x軸定義的不同，即產生不同的大地座標系統，常用的定義方式有兩種。首先我們考慮第一種定義方式，假設地球的質量中心為座標原點，地球的自轉軸為z軸，而x軸通過赤道面與格林威治平均子午線 (Mean Greenwich Meridian) 的交點，y軸則由x軸與z軸以右手定則決定，則此座標系即稱為地心固連坐標系統。這個定義方式最大的問題是地球的自轉軸實際上並不是固定的，而是進行一種近乎週期性的運動，稱之為極軸運動效應或者極動 (polar motion)，因為赤道面與自轉軸垂直，因此赤道面也會跟著移動，而一旦赤道面移動，經緯線的定義也會跟著變動。圖3.7所示為2000年至2005年間之瞬時極軸位置圖。

為解決這個問題，可以將z軸重新定義為地球的平均自轉軸，大地測量學者利用西元1900年至1905年間之極軸運動效應，定義所謂的協議地極 (Conventional Terrestrial Pole; CTP)，以此點定義地球的平均自轉軸。而與此自轉軸垂直之赤道面稱為CTP赤道面。

定義3.2 (協議地球座標系統) 考慮如圖3.8所示之參考橢球與卡氏直角座標系統，其原點位於地球的質量中心。若其z軸通過CTP，x軸通過CTP赤道面與參考子午線的交點，y軸由x軸與z軸以右手定則決定構成一直角座標系統，則此座標系統稱之為協議地球座標系統 (Conventional Terrestrial Reference System; CTRS)，是一種地心地固座標系統。此時，其x, y, z軸分別以$x_T, y_T, z_T$表示。

上述的定義屬於”抽象”的說法，舉例而言，實際上我們並無法”看”到地球的質心所在位置，而且參考子午線、赤道面等，也都是虛擬的線以及平面，必須透過大地量測的方法，才能將一個大地座標系統”實現” (realization) 出來。例如WGS84即為CTRS的一種實現，我們將在後面的章節介紹WGS84參考座標系統。在這裡必須先提出一項說明，由上述的大地量測方法所實現出來的座標系統，其零度經度線不再是通過格林威治天文觀測站那條著名的銅線，而是利用位於全球各地的天文觀測站，經過協調之後統計上的零度線，亦即所謂的格林威治平均子午線。

CTRS座標系統的x軸指向格林威治子午線，因此CTRS座標系統會隨著地球自轉而跟著轉動，所以CTRS並非慣性座標系統。此種座標系統適合用於描述地表附近物體的位置，但並不適合用來描述與分析衛星軌道運動。衛星軌道運動為一種向心力運動 (Central Force Motion)，其運動軌跡可以由牛頓運動定律來決定，而描述牛頓運動定律使用慣性座標系統是最佳的選擇，因為在此座標系統之下，牛頓運動定律有最簡潔的形式。接下來我們就來介紹另一種全球座標系統：地球慣性 (Earth-Centered, Inertial; ECI)座標系統。

定義3.3 地球繞太陽公轉之軌道面稱為黃道面 (Ecliptic)，而黃道面與赤道面交線所指方向即為春分點 (Vernal Equinox, 見圖3.9)。

定義3.4 (協議慣性座標系統) 考慮如圖3.10 協議慣性座標系統 (CIRS)所示之參考橢球與卡氏直角座標系統，其原點位於地球的質量中心。若其z軸通過地球的瞬時自轉軸(Celestial Ephemeris Pole; CEP)，x軸通過春分點，y軸由x軸與z軸以右手定則決定，則此座標系統稱之為協議慣性座標系統 (Conventional Inertial Reference System; CIRS)。此時，其x, y, z軸分別以$x_I, y_I, z_I$表示。

嚴格說來，上述定義並非一個真正的慣性座標系統，因為地球的質心會繞著太陽進行向心運動，即所謂的公轉，不過在實用上，在短時間之內CIRS可以視為慣性座標系統。慣性座標系統也可以稱為太空固定 (space-fixed) 系統，因為其x軸指向在太空中固定不動的恆星。除了質心會移動之外，地球的自轉軸相對於遠處的恆星而言也並非固定不動的，地球自轉軸的運動主要是由兩種不同的週期運動所構成，即所謂的進動 (precession) 與章動 (nutation)，這兩種運動是由於太陽與月亮對地球的引力所造成的。進動就是地球的自轉軸本身，會進行繞圓圈的運動 (其週期大約26,000年)，就像陀螺一樣，章動則是自轉軸會像點頭一樣，前後擺動 (週期大約18.6年)。如果地球是正圓形而且為均勻物質 (密度固定)，就不會產生進動與章動的現象，不過幸好科學家對於這兩種運動已經有充分的瞭解，可以準確的計算任何時間點 (epoch) 地球的進動與章動。

為了描述地球在太空中的方位 (姿態) 以及CIRS與CTRS兩種座標系統之間的相對關係，除了進動與章動之外，還需考慮另外兩種因素，首先是前面提到的地球的極軸運動效應，另外一個因素則是地球的自轉速率，因為地球的自轉速率實際上並不是固定不變的。綜合上述的幾項因素，我們需要五個參數來描述CTRS與CIRS之間的關係，以及地球的方位，這五個參數稱為EOP (Earth Orientation Parameter)，整理如下：

• 兩個角度($x_p$以及$y_p$) 用以描述極軸運動效應座標，亦即地球的瞬時自轉軸與CTP之間的相對位置，如圖3.11所示，其中$(x_p,y_p)$代表極軸運動效應座標 (Polar Motion Coordinate, 以CTRS座標表示)。
• 利用兩個角度來表示地球自轉軸在太空中的指向，而且必須考慮進動與章動對於地球自轉軸的影響。
• 以$\theta$角代表格林威治平均子午線與春分點之夾角，用來描述地球的自轉運動。$\theta$角的定義必須同時考慮地球非均勻自轉率的影響 (見圖3.11)。

圖3.11 CTRS與CIRS座標關係圖

地球的極軸運動效應與進動及章動不一樣的地方是到目前為止極軸運動效應仍無法精確預測，因此，CEP相對於CTP之位移  僅能利用實驗的數據來判斷當時的極軸運動座標值。$\theta$角代表格林威治平均子午線與春分點指向之夾角，也稱為格林威治視恆星時 (Greenwich Apparent Sidereal Time; GAST)。一旦地球的進動與章動可以精確的計算，我們僅需要極軸運動座標以及地球自轉角度三個參數  來描述CIRS以及CTRS兩個座標系統的相對關係。

由本章節附錄 (見第3.6節) 的討論中可知，兩個有共同原點的不同卡氏直角座標系統，可以經由一系列的旋轉矩陣 (rotational matrix，或者稱為方向餘弦矩陣Directional Cosine Matrix; DCM) 運算之後，使得兩個座標系統重疊，換句話說不同卡氏直角座標系統之間的相對關係可以由方向餘弦矩陣來表示。我們可以利用圖3.11來說明如何將慣性座標$(x_I,y_I,z_I)$轉換至ECEF座標$(x_T,y_T,z_T)$，首先將$z_I$軸固定，順時針旋轉$\theta$角，接著相對於新的$x_I$軸旋轉$-y_p$角，最後再固定新的$y_I$軸旋轉$-x_p$角，由此三次旋轉可得知CIRS系統與CTRS系統之間的座標轉換矩陣可以表示如下：

\[{\bf{x}}_T = {\bf{R}}_{2I}( - {x_p}){\bf{R}}_{1I}( - {y_p}){\bf{R}}_{3I}(\theta ){\bf{x}}_I.\]

其中$x_T$與$x_I$分別代表以CTRS與CIRS座標系統表示之位置向量，${\bf R}_{1I}$、${\bf R}_{2I}$以及${\bf R}_{3I}$分別為相對於$x_I$、$y_I$以及$z_I$軸旋轉之方向餘弦矩陣。在本書中，粗體的大寫英文字母代表矩陣，粗體小寫英文字母則代表向量。

3.2.2 大地座標系統、大地水準面以及大地基準
數學上，卡氏直角座標系統有很多好處，例如牛頓運動定律以及馬克士威方程式 (Maxwell’s Equations) 在此座標系統之下，公式較為簡潔。但是在日常生活上，卡氏直角座標系統使用起來卻嫌累贅。想像GPS接收機告訴你現在所在位置為 (1,510,900, -4,463,457, 4,293,001) (以公尺為單位)，大部分的人大概知道是在北半球 (因為z > 0)，如果你記得三角函數表，或者你的算術很好，可以用心算得知你現在位於中緯度 ($40^\circ-45^\circ$) 地區。不過，如果要判斷所在地點的高度，可能就沒有那麼容易了！在地球表面上使用直角座標的另一個缺點是就算你的高度僅有些微改變 (例如爬了一層樓)，三個座標值都會改變。因為地表接近球型，在日常生活中採用曲線座標系統 (經度longitude、緯度latitude、高度height) 反而更為便利，也就是所謂的大地座標系統 (Geodetic Coordinate System)。

大地座標系統的概念是先以一個橢球模型 (見定義3.1) 做為地球表面的近似模型，橢球表面上的任意一點僅需使用兩個角度來描述 – 經度與緯度，高度則是以相對於橢球表面的高度 (即所謂的海拔altitude) 來表示。地球的表面並不規則，甚至會隨著時間改變，因此要找到一個適當的橢球模型並不容易。早期的模型是一個球型，如圖3.12所示，由此定義出來的經度與緯度稱為地心經度 (Geocentric Longitude) 與地心緯度 (Geocentric Latitude)。一直要到牛頓發現萬有引力定律之後，人類才知道地球實際上是一個扁的橢球形 (Oblate Ellipsoid)，如圖3.13所示 (橢球的定義請參考定義3.1)，根據測量的結果，地球的長軸與短軸大約相差20公里。

由上面的敘述可知，大地座標系統除了一組ECEF座標軸以及原點之外，還需要一個參考橢球模型，而為了簡化模型複雜度，可令橢球球心與ECEF原點重疊，而橢球的旋轉軸與ECEF座標的z軸重合。有了橢球的旋轉軸與球心之後，由定義3.1可知，我們還需要兩個參數才能完整描述一個參考橢球，亦即半長軸($a$)以及半短軸($b$)，通常也以半長軸以及離心率($e$)來表示。離心率與半長軸以及半短軸的關係如下：
\[{e^2} = \frac{{({a^2} - {b^2})}}{{{a^2}}}.\]
大地測量學家則比較喜歡用扁率 (flattening, $f$) 來描述橢球，扁率的定義如下：
\[f = \frac{{(a - b)}}{a}.\]
由上面兩個式子可以得到離心率與扁率的關係，如下列方程式所示：
\[{e^2} = 2f - {f^2}.\]
接著，我們可以來定義大地座標(也稱為地理座標Geographic Coordinate，或者橢球座標Ellipsoidal Coordinate)。

定義3.5 (大地座標系統) 考慮圖3.14所示之直角座標與參考橢球，空間中的一點P其卡氏直角座標為 (x, y, z)，則其大地座標定義如下：

• 大地緯度 (geodetic latitude, φ)：P點所在的子午面上，赤道面 (x-y平面) 與P點在橢球表面的垂線之間的夾角，赤道北方緯度為正，南方為負。
• 大地經度 (geodetic longitude, λ)：在赤道面上，參考子午面以及P點所在子午面之間的夾角 (兩面角)，參考子午面 (零度子午面) 的東方經度為正。
• 大地高程 (geodetic height, h)：P點到橢球表面之間的垂直距離。

在圖3.14中，φ’ 代表地心緯度，係指$\overline {{\bf{OP}}}$與赤道面之夾角 (O為原點)。因為地球為橢球形，所以。若地表為正球形，則。但是因為實際上地球為非常接近球形的橢圓形，故一般說來$\phi  \approx \phi '$。在日常生活中，我們所謂的經緯度係指大地經緯度。將橢球表面上，所有緯度相同 (φ = constant) 的點連接其來形成的一條封閉曲線，稱為平行圈 (parallel)，所有平行圈都是圓形的。同理，將橢球上面所有經度相同 (λ = constant) 的點連接起來形成的封閉曲線，稱為子午圈 (meridian)，所有子午圈都是橢圓形。大地高程也稱為橢球高 (ellipsoidal height)，也就是P點相對於橢球面的高度，因為大地參考橢球面為一個假想的曲面，所以橢球高並沒有實際上的物理意義。因此大地測量學家定義另一種曲面，稱為大地水準面 (Geoid)。

定義3.6 考慮圖3.15。鉛垂線 (Plumb Line)、等位面 (Equipotential Surface) 以及大地水準面 (Geoid) 可分別定義如下：

• 等位面：連接所有重力位能相同的點所形成之曲面。
• 鉛垂線：與等位面垂直的線稱為鉛垂線，同時也是地心引力的方向。
• 大地水準面：與全球平均水平面 (global mean sea level) 最接近之等位面。

說明：

1. 在上述定義中，所謂”最接近”係指以最小平方法 (least squares method) 進行曲線契合 (curve fitting) 所得到之最佳解 (optimal solution)。
2. 鉛垂線也稱為垂直線 (Vertical)，與橢球面垂直的線則稱為法線 (Normal)。

定義3.7 參考圖3.16，在地形上的任意一點P其橢球高 (Ellipsoidal Height)、正高 (Orthometric Height) 與大地水準面高 (Geoidal Height) 之定義分別為：

• 橢球高：P點到參考橢球面之法線長度，亦即圖中的h。
• 大地水準面高：橢球面以及大地水準面之法線距離，亦即圖中的N。
• 正高：地表與大地水準面之鉛垂線長，以大寫H表示。

圖3‑17 大地水準面、大地水準面高以及垂線偏角 (Deflection of the Vertical)

說明：

1. 對於地表的任意一點P，通過P點的法線與鉛垂線的夾角稱為垂線偏角 (Deflection of the Vertical，見圖3.17)。
2. 一般說來，橢球高、正高以及大地水準面高有下列關係：\[h=H+N. \]上式實際上是一個近似關係 (approximate relation)，不過在大部分情況下其精確度已經足夠。
3. 橢球高以及大地水準面高均以橢球面為參考面，橢球面上方為正，下方為負，亦即在圖3.16中，N值為負。

在做地圖投影 (Map Projection) 時，比較方便的方式就是將3D的地形投影到參考橢球面上，地圖投影的方式已經超過本書涵蓋範圍，在此不詳細介紹。在這裡我們特別要注意的是，如果是區域性的地圖投影，使用全球參考橢球為基準，實際上並不合適，使用區域基準面 (Regional Datum) 可能更為精確。大多數的國家均會發展自己的區域座標系統以及參考橢球，台灣目前採用的大地基準，稱為TWD 97系統，將在後面章節介紹。大地基準與區域基準的差異如圖3.18所示。台灣的大地水準面高輪廓圖如圖3.19所示。

參考文獻

1. P. Misra and P. Enge, Global Positioning System: Signals, Measurements, and Performance, Ganga-Jamuna Press, 2001.
2. 王和盛, GPS接收機原理概論, unpublished manuscript.

Nonbinary m-Sequences

m-sequences 在衛星導航系統中扮演重要的腳色，測距用的虛擬雜訊碼 (Pseudo-Random Code)基本上就是一種m-sequence。有關GPS訊號中PRN碼的設計可參考下面這個鏈結中的文件。

GPS訊號結構

一般的m-sequence大多為二進制(binary)，但也有非二進制的m-sequence。本篇主要介紹非二進制的m-sequence。欲生成一個非二進制的m-sequence，需要先建構一個extension field $GF(p^m)$，其中$p$是一個質數。在工程上最常用的extension field是$GF(2^m)$，可參考上述文章，有詳細介紹如何生成$GF(2^m)$。我們以一個實際的例子來說明，考慮一個二階的primitive polynomial $X^2+X+1$，則以此多項式生成之$GF(2^2)$ extension field包含四個元素，以冪次表示為$\{0, 1, \alpha, \alpha^2\}$，以多項式表示則為$\{0, 1, \alpha, \alpha^2 = 1 + \alpha\}$。也可以利用向量來表示，此時$GF(2^2) = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$。接下來，我們考慮在$GF(2^2)$上的多項式，同樣地，為了方便說明，我們考慮一個二階的primitive polynomial $g(X)=g_0+g_1X+g_2X^2 = X^2+X+\alpha$。注意，因為我們現在考慮的是$GF(2^2)$上的多項式，因此$g(X)$的係數可以是$0, 1, \alpha,$ 或者$\alpha^2$。在本例中$g_0=\alpha, g_1 = 1, g_2=1$。接下來我們可以利用$g(X)$來產生一組非二進制m-sequence。若令$g(X)=0$，移項之後可得$X^2= X + \alpha$。若將$X$視為電路中的移位暫存器，$X^2$表示經過兩個移位暫存器(有關以移位暫存器來產生一個序列，同樣可參考上述連結中的文章)，則由上式可得到一個遞迴關係：$a_r = a_{r-1} + \alpha a_{r-2}$。若令$a_0=a_1=1$，由此遞迴關係可得到一個長度為$2^4-1 = 15$的非二進制m-sequence如下：
\[a_0a_1a_2a_3... = 11\alpha^210\alpha\alpha 1\alpha 0\alpha^2\alpha^2\alpha\alpha^2 0 \mbox{(repeat)} \]
但是，若想要利用數位電路來實現上述m-sequence，要如何產生$\alpha$這個符號，此時就需要借用$GF(2^2)$的向量表示，也就是說$\{0, 1, \alpha, \alpha^2\}$這四個符號都需要兩個位元來表示：$"0"\rightarrow 00$, $"1"\rightarrow 01$, $"\alpha"\rightarrow 10$, $"\alpha^2"\rightarrow 11$。如此一來，上述的非二進制m-sequence可以寫為：
\[01,01,11,01,00,10,10,01,10,00,11,11,10,11,00\]
解碼時必須兩個位元為一組進行解碼。

References
1. 王和盛, GPS接收機原理概論, unpublished manuscript.
2. S. Lin and D. J. Constello, Jr., Error Control Coding: Fundamentals and Applications, 2nd Edition, Prentice-Hall.